Impulsantwoord

Het impulsantwoord of de impulsrespons is een belangrijke karakteristiek van lineaire, tijdsinvariante systemen (zie LTC-systeem) in de wiskundige systeemtheorie en in de regeltechniek. Het impulsantwoord is gedefinieerd als het uitgangssinaal (het antwoord) van het systeem S op een aan de ingang aangelegd impulsvormig signaal, idealiter een Diracdelta, $\delta (x)$ . In werkelijkheid kan men natuurlijk slechts een benadering van zo'n ingangssignaal aanleggen en daarmee een benadering van de impulsrespons verkrijgen.

Wordt aan de ingang van een lineair tijdsinvariant systeem S een signaal $u$ aangelegd, dan zal aan de uitgang het signaal $x$ verschijnen, dat de convolutie is van $u$ met de impulsrespons $h$ . Immers voor een dergelijk systeem kan men enigszins slordig schrijven:

x(t)=h(u)(t)=h\left(\int u(s)\delta (t-s){\rm {d}}s\right)=\int u(s)h(t-s){\rm {d}}s=(u*h)(t)

.

Meer formeel zou deze afleiding luiden:

x=S(u)=S\left(\int u(s)\delta (\cdot -s){\rm {d}}s\right)=\int u(s)S\left(\delta (\cdot -s)\right){\rm {d}}s=\int u(s)h(\cdot -s){\rm {d}}s=u*h

.

Ook voor discrete lineaire, tijdsinvariante systemen geldt een dergelijke verband. Voor de output $x$ bij ingangssignaal $u$ kunnen we schrijven:

x[n]=h(u)[n]=h\left(\sum _{k}u[k]\delta [n-k]\right)=\sum _{k}u[k]h[n-k]=(u*h)[n]

.

Voorbeeld 1

Het systeem gedefinieerd door de differentievergelijking:

x(n)=a\cdot x(n-1)+u(n)

,

zal op de ingangimpuls, waarvoor dus $u(0)=1$ en $u(n)=0$ voor andere $n$ , reageren met een uitgangssignaal:

x(0)=1,\ x(1)=a,\ x(2)=a^{2},\ x(3)=a^{3},\ \ldots

De impulsrespons is dus:

h(n)=a^{n}

.

Voor een willekeurig ingangssignaal $u$ is het uitgangssignaal (de oplossing van de differentievergelijking):

x(n)=(u*h)(n)=\sum _{k=0}^{n}u(k)a^{n-k}

Voorbeeld 2

De impulsrespons van een integrator is de stapfunctie. De integrator is de integraal tot het moment $t$ , dus voor de impuls:

\mathrm {u} (t)=\int _{-\infty }^{t}\delta (s){\rm {d}}s=H(t)={\begin{cases}0&{\mbox{voor }}t<0\\\\1&{\mbox{voor }}t\geq 0\end{cases}}

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.