Graad (grafentheorie)
De graad (of valentie) van een knoop in een graaf is het aantal buren van die knoop. In een niet-gerichte graaf is dit het aantal bogen dat in de knoop samenkomt. Voor een gerichte graaf maken we onderscheid tussen de inkomende en de uitgaande graad, respectievelijk het aantal bogen dat toekomt en het aantal bogen dat vertrekt in deze knoop.
Een knoop met graad 0 is een geïsoleerde knoop.
Een graaf waarin alle knopen dezelfde graad hebben is een reguliere graaf. Als die graad gelijk is aan k noemen we het een k-reguliere graaf. Een 3-reguliere graaf noemt men ook wel een kubieke graaf.
Grafische lijsten
De graden van alle knopen in een graaf, gerangschikt in een niet-stijgende rij, noemt men in het Engels de degree sequence van de graaf. Dergelijke lijst noemt men ook een grafische lijst ("graphic list"). Er bestaan in het algemeen meerdere grafen met verschillende topologie die dezelfde degree sequence hebben, zoals hiernaast is geïllustreerd. Elk van deze grafen noemt men een realisatie van de gegeven degree sequence.
Niet elke willekeurige niet-stijgende lijst van natuurlijke getallen is een grafische lijst. (3,3,3,1) is bijvoorbeeld geen grafische lijst: het is onmogelijk een realisatie te maken van deze lijst, dit is een enkelvoudige graaf waarvan de 4 knopen deze graden hebben. De stelling van Erdős en Gallai geeft een noodzakelijke en voldoende voorwaarde opdat zo een lijst grafisch zou zijn. Er bestaan verschillende bewijzen van deze stelling, waaronder een constructief bewijs waarin een graaf wordt geconstrueerd met de gegeven lijst als degree sequence.[1]
Zie ook
Bronnen, noten en/of referenties
|