Frequentieanalyse (statistiek)

Frequentie is het aantal malen dat de waarde van het verschijnsel X voorkomt. De relatieve frequentie dat in een waarnemingsreeks ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ een waarde niet groter dan x voorkomt, wordt gegeven door de empirische verdelingsfunctie:

${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}{\rm {aantal}}\{X\leq x\}}$

De frequentie is dan ${\displaystyle N\cdot F_{N}(x)}$.

Met behulp van de empirische verdelingsfunctie kunnen allerlei andere frequenties uitgedrukt worden.

Als alle waargenomen waarden verschillend zijn, geldt voor de kleinste waargenomen waarde ${\displaystyle x_{min}}$:

${\displaystyle F_{N}(x_{min})={\frac {1}{N}}}$

en voor de grootste waargenomen waarde ${\displaystyle x_{max}}$:

${\displaystyle F_{N}(x_{max})=1}$

Dit moet niet verward worden met de verdelingen van het minimum en het maximum van de waarnemingen. Beide zijn variabelen die in elke reeks waarnemingen een andere waarde kunnen hebben. Als de waarnemingen gelijkverdeeld en onderling onafhankelijk zijn geldt voor het minimum ${\displaystyle {\rm {MIN}}=\min(X_{1},\ldots ,X_{N})}$:

${\displaystyle P({\rm {MIN}}>x)=P(X_{1}>x,\ldots ,X_{N}>x)=\left(1-F_{X}(x)\right)^{N}}$,

en voor het maximum ${\displaystyle {\rm {MAX}}=\max(X_{1},\ldots ,X_{N})}$:

${\displaystyle P({\rm {MAX}}\leq x)=P(X_{1}\leq x,\ldots ,X_{N}\leq x)=\left(F_{X}(x)\right)^{N}}$,

Grafische illustratie van cumulatieve kansen volgens de rangschikkingsmethode

Er is een eenvoudig verband tussen de geordende steekproef ${\displaystyle X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq \ldots \leq X_{(N)}}$ en de empirische verdelingsfunctie. Als ${\displaystyle x_{(1)}=x_{min}\leq x_{(2)}\leq \ldots \leq X_{(N)}=x_{max}}$ de realisatie is van de geordende steekproef, dan maakt de empirische verdelingsfunctie steeds een sprong van 1/N in de waarnemingen. Dus voor ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,N}$ is:

${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {i}{N}},{\mbox{ voor }}x_{(i)}\leq x<x_{(i+1)}}$,

waarin ${\displaystyle x_{(0)}=-\infty }$ en ${\displaystyle x_{(N+1)}=\infty }$

Op basis van een reeks waarnemingen worden ook voorspellingen gedaan. Uit bijvoorbeeld de verdeling van rivierafvoeren voor de jaren 1950 tot 2000, worden de rivierafvoeren voor de jaren 2000 tot 2050 voorspeld. Een voorwaarde is wel dat de omgevingsfactoren niet veranderen. Mochten zij wel veranderen, zoals door civieltechnische ingrepen in de rivier of in het opvanggebied van het regenwater, of door klimaatveranderingen, dan is de voorspelling onderhevig aan een systematische fout. Ook zonder een systematische fout is de voorspelling onderworpen aan een toevallige fout, doordat door toeval de waargenomen afvoeren lager of hoger zijn dan normaal, of omgekeerd de afvoeren van 2000 tot 2050 door toeval hoger of lager kunnen zijn dan normaal.

De binomiale verdeling is alleen symmetrisch wanneer Pc (p in de figuur) = 0.5

Ter bepaling van de betrouwbaarheid van voorspellingen op grond van een waargenomen reeks cumulatieve frequenties kunnen betrouwbaarheidsintervallen worden geconstrueerd waarmee het bereik van de waarschijnlijke fout wordt geschat.

In het geval van cumulatieve kansen zijn er slechts 'twee mogelijkheden: er vindt onderschrijding plaats of overschrijding. De som van onderschrijdings– en overschrijdingskans is 1 of 100% Daarom is de binomiale verdeling van toepassing om het betrouwbaarheidsinterval te schatten.

Voor de binomiale verdeling met parameters ${\displaystyle p}$, de succeskans, en ${\displaystyle N}$, het aantal waarnemingen, is de standaardafwijking ${\displaystyle \sigma }$ gegeven door:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {p(1-p)}{N}}}}$

Het betrouwbaarheidsinterval voor de succeskans ${\displaystyle p}$ wordt voor grote waarden van ${\displaystyle N}$ afgeleid met behulp van de Student-verdeling. Een ondergrens ${\displaystyle L}$ en een bovengrens ${\displaystyle U}$ van het interval worden onder de voorwaarde ${\displaystyle p}$ niet te klein of te groot is, gegeven door:

${\displaystyle L={\hat {p}}-t\,{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{N}}}}$

en

${\displaystyle U={\hat {p}}+t\,{\sqrt {\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{N}}}}$

Daarin is

${\displaystyle {\hat {p}}}$ de fractie waargenomen successen

${\displaystyle t}$ een waarde uit de t-verdeling, afhankelijk van de gewenste betrouwbaarheid.

Echter, de binomiale verdeling is slechts symmetrisch rond het gemiddelde (waar Pc = 0.5), maar hij wordt meer asymmetrisch naarmate Pc nadert tot 0 of 1. Daarom kunnen bij benadering Pc en 1–Pc zelf gebruikt worden als weegfactoren bij de toewijzing van t.Sd aan U and L :

• L  = Pc − 2Pc.t.Sd
• U = Pc + 2(1 − Pc).t.Sd

waaruit te zien is dat deze uitdrukkingen bij Pc=0.5 gelijk zijn aan de twee voorgaande.