Ferranti-effect

Volgens de theorie van transmissielijnen is de (complexe) amplitude ${\displaystyle u_{out}}$ van de uitgangsspanning aan het uiteinde van een lijn met lengte ${\displaystyle D}$ gelijk aan:

${\displaystyle u_{\text{out}}={\tfrac {1}{2}}(u_{0}+i_{0}Z_{0})e^{-j\varphi }+{\tfrac {1}{2}}(u_{0}-i_{0}Z_{0})e^{+j\varphi }}$,

waarin

${\displaystyle u_{0},i_{0}}$ respectievelijk de ingangsspanning en ingangsstroom zijn,

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {l/c}}={\sqrt {L/C}}}$ de karakteristieke impedantie is, en

${\displaystyle \varphi =\omega {\sqrt {LC}}}$ de totale fasedraaiing.

Met:

${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {u_{0}}{i_{0}}}}$ de ingangsimpedantie

geldt dus:

${\displaystyle {\frac {u_{\text{out}}}{u_{0}}}={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\frac {Z_{0}}{Z_{\text{in}}}}\right)e^{-j\varphi }+{\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {Z_{0}}{Z_{\text{in}}}}\right)e^{+j\varphi }}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\frac {Z_{0}}{Z_{\text{in}}}}\right)(\cos(\varphi )-j\sin(\varphi ))+{\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {Z_{0}}{Z_{in}}}\right)(\cos(\varphi )+j\sin(\varphi ))}$

${\displaystyle =\cos(\varphi )-j{\frac {Z_{0}}{Z_{\text{in}}}}\sin(\varphi )}$

Voor een lijn met open uiteinde is:

${\displaystyle Z_{\text{in}}=Z_{\text{open}}={\frac {Z_{0}}{\tanh(\gamma D)}}}$,

waarin

${\displaystyle \gamma =j\omega {\sqrt {LC}}/D}$ de voortplantingscoëfficiënt is.

Dus

${\displaystyle {\frac {Z_{0}}{Z_{\text{in}}}}=\tanh(\gamma D)=\tanh(j\varphi )=j\,\tan(\varphi )}$,

zodat:

${\displaystyle {\frac {u_{\text{out}}}{u_{0}}}=\cos(\varphi )+\tan(\varphi )\sin(\varphi )={\frac {1}{\cos(\varphi )}}\left(\cos ^{2}(\varphi )+\sin ^{2}(\varphi )\right)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\cos(\varphi )}}\approx {\frac {1}{1-{\tfrac {1}{2}}\omega ^{2}LC}}}$