Fermats factorisatiemethode

In de getaltheorie is Fermats factorisatiemethode een algoritme voor het ontbinden van een oneven samengesteld getal $n$ in twee factoren $a$ en $b$ , zodat dus $n=a\cdot b$ .

Deze factorisatiemethode is vooral effectief als het getal kan worden voorgesteld als een product ongeveer even grote factoren. De methode vormt ook de basis van algemene factorisatiemethoden voor grote getallen, die minder rekentijd nodig hebben.

Pierre de Fermat beschreef in 1643 deze nu naar hem genoemde methode in een brief die vermoedelijk gericht was aan Mersenne of aan Frenicle de Bessy. In deze brief liet hij de methode zien door de priemontbinding van het getal 2.027.651.281 te berekenen.[1] Sommige historici vermoeden echter dat de methode reeds eerder bekend was.

Algoritme

Laat $n$ het oneven getal zijn dat ontbonden moet worden en $m=\lceil {\sqrt {n}}\rceil$ het kleinste gehele getal groter dan of gelijk aan ${\sqrt {n}}$ . De factorisatiemethode van Fermat berekent achtereenvolgens:

(m+0)^{2}-n

(m+1)^{2}-n

(m+2)^{2}-n

\vdots

Dit gaat net zo lang door totdat de uitkomst een kwadraat is:

(m+z)^{2}-n=y^{2}

Dan is, met $m+z=x$ ,

n=x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)=a\cdot b

.

Dit levert de ontbinding van $n$ waarvoor de verhouding $a/b$ (met $a\geq b$ ) het kleinst is.

Opmerking

Door het inspecteren van de laatste twee cijfers van de berekende uitkomst, kan men in veel gevallen uitsluiten dat de uitkomst een kwadaat is. Een kwadraat heeft als laatste twee cijfers slechts een van de 22 mogelijkheden: 00, X1, X4, 25, Y6 en X9, waarbij X staat voor een even en Y voor een oneven cijfer. Ook Fermat gebruikte deze eigenschap van kwadraten.

Literatuur

Leonard E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 1. Divisibility and Primality, Dover Publications, 2005, ISBN 0-486-44232-2, p. 357

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[DICKSON-1] Leonard E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 1. Divisibility and Primality, Dover Publications, 2005, ISBN 0-486-44232-2, p. 357