Voortplantingssnelheid

Een harmonische golf in één richting, zeg de x-richting, met amplitude A en hoekfrequentie ω wordt beschreven door de uitwijking u:

${\displaystyle u(x,t)=A\cos \left[\omega \left(t-{\frac {x}{v}}\right)\right]}$

Daarin is v de voortplantingssnelheid.

Men schrijft vaak:

${\displaystyle u(x,t)=A\cos(\omega t-kx)\,}$ ,

met:

${\displaystyle k={\frac {\omega }{v}}\,}$

het (cirkel)golfgetal.

Tussen de voortplantingssnelheid v en andere grootheden bestaan de volgende betrekkingen:

${\displaystyle v={\frac {\lambda }{T}}=\lambda f={\frac {\omega }{k}}.}$

Hierin is λ de golflengte, T de periode en f de frequentie.

Doordat een golf meestal bestaat uit een superpositie van harmonische golven, kunnen de snelheden van de afzonderlijke componenten uiteenlopen. Men maakt daarom onderscheid in fasesnelheid en groepssnelheid. De fasesnelheid is dan de snelheid waarmee een punt op de golf met vaste fase zich voortplant en de groepssnelheid de snelheid waarmee het omhullende van de golf zich voortplant.

Om de begrippen te verduidelijken beschouwen we een golf die bestaat uit twee harmonische golven, voor het gemak elk met amplitude 1 en fasehoek 0 voor i=1,2 beschreven door:

${\displaystyle \cos(\omega _{i}t-k_{i}x)\,}$

met cirkelfrequentie ω_i en (cirkel)golfgetal k_i.

De superpositie van beide is:

${\displaystyle \cos(\omega _{1}t-k_{1}x)+\cos(\omega _{2}t-k_{2}x)=2\cos(\omega _{\mathrm {f} }t-k_{\mathrm {f} }x)\cos(\omega _{\mathrm {g} }t-k_{\mathrm {g} }x)\,}$

waarin:

${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{1}+\omega _{2})}$

${\displaystyle \omega _{\mathrm {g} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{1}-\omega _{2})}$

en

${\displaystyle k_{\mathrm {f} }={\tfrac {1}{2}}(k_{1}+k_{2})}$

${\displaystyle k_{\mathrm {g} }={\tfrac {1}{2}}(k_{1}-k_{2})}$ .

Rood punt met fasesnelheid, groen met groepssnelheid

We zien daarin twee golfverschijnselen, een met de gemiddelde cirkelfrequentie ω_f van beide en voortplantingssnelheid v_f, de fasesnelheid, en een ander met als cirkelfrequentie ω_g het halve verschil van beide en voortplantingssnelheid v_g, de groepssnelheid. Voor ons oog verschijnt een snel fluctuerende golf met voortplantingssnelheid de fasesnelheid waarvan de amplitude langzaam varieert volgens de tweede golf die de omhullende van de golf bepaalt. Deze omhullende plant zich voort met de groepssnelheid.

We drukken de beide snelheden uit in de basisgrootheden cirkelfrequentie en voortplantingssnelheid:

${\displaystyle v_{\mathrm {f} }={\frac {\omega _{\mathrm {f} }}{k_{\mathrm {f} }}}={\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{k_{1}+k_{2}}}={\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{\omega _{1}/v_{1}+\omega _{2}/v_{2}}}}$

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }={\frac {\omega _{\mathrm {g} }}{k_{\mathrm {g} }}}={\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{k_{1}-k_{2}}}={\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{\omega _{1}/v_{1}-\omega _{2}/v_{2}}}}$

Anders geschreven:

${\displaystyle {\frac {1}{v_{\mathrm {f} }}}={\frac {\omega _{1}}{\omega _{1}+\omega _{2}}}{\frac {1}{v_{1}}}+{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}+\omega _{2}}}{\frac {1}{v_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{v_{\mathrm {g} }}}={\frac {\omega _{1}}{\omega _{1}-\omega _{2}}}{\frac {1}{v_{1}}}-{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}-\omega _{2}}}{\frac {1}{v_{2}}}}$

De fasesnelheid is dus het met de frequenties gewogen harmonisch gemiddelde van de beide snelheden en de groepssnelheid het gewogen harmonisch verschil.

Daaruit zien we dat in het geval de voortplantingssnelheden v₁ en v₂ van beide componenten gelijk zijn, ook de fasesnelheid en de groepssnelheid daaraan gelijk zijn. Interessant wordt het als er van dispersie sprake is, zodat de beide voortplantingssnelheden verschillen. Dan gaan ook de fase- en groepssnelheid van elkaar verschillen. In de animatie is dit duidelijk te zien.

Het algemene geval is moeilijker te analyseren. Een golfpakket kan beschreven worden door:

${\displaystyle u(x,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }A(\omega )e^{i(k(\omega )x-\omega t)}\mathrm {d} \omega }$

Als het golfpakket min of meer pulsvormig is, zal het spectrum A tamelijk scherp gepiekt zijn rondom een waarde ω_f. Het golfgetal kan dan ontwikkeld worden rond deze waarde:

${\displaystyle k(\omega )=k_{\mathrm {f} }+k'(\omega _{\mathrm {f} })(\omega -\omega _{\mathrm {f} })+\ldots }$

Dat levert als benadering:

${\displaystyle u(x,t)\approx e^{i(k_{\mathrm {f} }x-\omega _{\mathrm {f} }t)}\int \limits _{-\infty }^{\infty }A(\omega )e^{i(k'(\omega _{\mathrm {f} })x-t)\omega }\mathrm {d} \omega }$

De eerste term laat een golf zien met cirkelfrequentie ω_f, de centrale (verwachte) waarde van het spectrum. De voortplantingssnelheid daarvan, de fasesnelheid is:

${\displaystyle v_{\mathrm {f} }={\frac {\omega _{\mathrm {f} }}{k_{\mathrm {f} }}}}$

De tweede (de integraal) stelt de groep voor. De voortplantingssnelheid daarvan, de groepssnelheid, is:

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }={\frac {1}{k'(\omega _{\mathrm {f} })}}=\left.{\frac {\partial \omega }{\partial k}}\right|_{k=k_{\mathrm {f} }}}$

De groepssnelheid wordt algemeen gedefinieerd als:

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }={\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$ .

In het bovenstaande discrete geval van twee harmonische golven, moet dit als het genoemde differentiequotiënt geïnterpreteerd worden.

In het algemeen geldt voor de fasesnelheid

${\displaystyle v_{\mathrm {f} }={\frac {\omega _{\mathrm {f} }}{k_{\mathrm {f} }}}}$

Daarmee kan de volgende relatie (Rayleigh) afgeleid worden:

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v_{\mathrm {f} }+k_{\mathrm {f} }{\frac {\mathrm {d} v_{\mathrm {f} }}{\mathrm {d} k_{\mathrm {f} }}}}$ .

Omdat

${\displaystyle k_{\mathrm {f} }={\frac {2\pi }{\lambda }}}$

luidt deze betrekking in termen van de golflengte λ:

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v_{\mathrm {f} }-\lambda {\frac {\mathrm {d} v_{\mathrm {f} }}{\mathrm {d} \lambda }}.}$