Faculteitconform getal

De getallen 1 en 2 zijn niet te schrijven als een faculteitssom. Om die reden worden 1 en 2 in een enkel geval dan ook niet tot de faculteitconforme getallen gerekend.[1]

Ook in hetgeen volgt is ${\displaystyle N}$ een faculteitconform getal met ${\displaystyle 7}$ cijfers. Verkleining van de hierboven gevonden bovengrens van ${\displaystyle 9.999.999}$ is in enkele eenvoudige stappen te realiseren.
De faculteitssom van ${\displaystyle 9.999.999}$ is ${\displaystyle 7\,\cdot \,9!=2.540.160}$. ${\displaystyle N}$ is dus zeker niet groter dan dit getal, waarmee het eerste cijfer van ${\displaystyle N}$ gelijk is aan ${\displaystyle 2}$, en daarmee is ${\displaystyle N\leq 2.999.999}$, met als faculteitssom ${\displaystyle 2!+6\,\cdot \,9!=2.177.282}$. Hieruit blijkt dat het tweede cijfer van ${\displaystyle N}$ een ${\displaystyle 1}$ of een ${\displaystyle 0}$ is (met als eerste cijfer een ${\displaystyle 2}$) óf het eerste cijfers is een ${\displaystyle 1}$.
Stel nu dat ${\displaystyle N=2.199.999}$. De faculteitssom is in dit geval ${\displaystyle 2!+1!+5\,\cdot \,9!=1.814.403}$, en dat is strijdig met de veronderstelling dat het eerste cijfer van ${\displaystyle N}$ een ${\displaystyle 2}$ is. Dus: het eerste cijfer van ${\displaystyle N}$ is een ${\displaystyle 1}$. En daarmee is in ieder geval ${\displaystyle N\leq 1.999.999}$.
Via een iets ingewikkelder redenering kan zelfs worden aangetoond dat ${\displaystyle N\leq 1.499.999}$.

Uit een berekening met een computer toegepast op alle getallen tussen ${\displaystyle 10}$ en ${\displaystyle 1.499.999}$ blijkt dat de enige faculteitconforme getallen (in het 10-tallig stelsel) zijn:[2]

${\displaystyle 1,\ 2,\ 145,\ 40585}$

Het getal ${\displaystyle 40585}$ werd in 1964 door computerberekeningen gevonden door Leigh Janes (via directe berekening) en Ron S. Dougherty (door gebruik te maken van zogenoemde derangementen) op het Davidson College (Davidson, North Carolina, USA).[3]