Eliminatie van dubbele negatie

In de klassieke logica is eliminatie van dubbele negatie (ook: dubbele negatie-eliminatie) een afleidingsregel die stelt dat twee opeenvolgende negaties weggehaald mogen worden aangezien de resulterende formule logisch equivalent is met de voorgaande. Deze afleidingsregel maakt gebruik van de gelijkheid ${\displaystyle \neg \neg \phi \equiv \phi }$, die geldt voor alle formules ${\displaystyle \phi }$. Anders gezegd geldt dat uit ${\displaystyle \neg \neg \phi }$ de formule ${\displaystyle \phi }$ afleidbaar is: ${\displaystyle \neg \neg \phi \vdash \phi }$. Op vergelijkbare wijze kan ook een dubbele negatie geïntroduceerd worden: ${\displaystyle \phi \vdash \neg \neg \phi }$.

De afleidingsregels van het elimineren en introduceren van de dubbele negatie worden respectievelijk ook genoteerd als:

${\displaystyle {\frac {\neg \neg \phi }{\phi }}}$ ${\displaystyle {\frac {\phi }{\neg \neg \phi }}}$

Intuïtief zeggen deze regels dat de volgende twee stellingen aan elkaar gelijk zijn:

Het is niet zo dat het niet regent.

Het regent.

Aangezien ${\displaystyle \phi \vdash \neg \neg \phi }$ geldt ook dat ${\displaystyle \vdash \phi \rightarrow \neg \neg \phi }$ en aangezien ${\displaystyle \neg \neg \phi \vdash \phi }$ geldt ook dat ${\displaystyle \vdash \neg \neg \phi \rightarrow \phi }$.

Dit betekent ook dat de volgende bi-implicatie geldt: ${\displaystyle \vdash \neg \neg \phi \leftrightarrow \phi }$. Aangezien een bi-implicatie een equivalentierelatie is, kan elk voorkomen van ${\displaystyle \neg \neg \phi }$ vervangen worden door ${\displaystyle \phi }$ zonder de waarheidswaarde van een formule te veranderen.