Eindige differentie

In de numerieke wiskunde worden afgeleiden benaderd door middel van eindige differenties, en dit tot verschillende ordes van nauwkeurigheid. Een eindige differentie kan centraal, voorwaarts of achterwaarts zijn. Eindige differenties worden ook gebruikt in de numerieke oplossingsmethoden voor partiële differentiaalvergelijkingen, zoals de lijnmethode en de Crank-Nicholsonmethode.

Algemeen principe

Door een aantal opeenvolgende equidistente discrete punten $(x_{k},f_{k})$ wordt een veelterm berekend, die vervolgens wordt afgeleid in een van de gebruikte netpunten. Het resultaat hangt enkel af van de functiewaarden $f_{k}$ en de stapgrootte h, tussen twee opeenvolgende netpunten. Bij centrale differenties wordt de afgeleide in het middelste (centrale) punt berekend, en zal de gebruikte veelterm van even graad zijn, gezien een oneven aantal punten dient gebruikt te worden. Bij voorwaartse en achterwaartse differenties wordt de afgeleide in een van de uiterste punten genomen en mag de graad van de veelterm even of oneven zijn. De graad van de gebruikte veelterm moet minstens zo groot zijn als de orde van de te benaderen afgeleide. Met drie punten, dus met een veelterm van graad 2, kan men dus een benadering maken van de eerste en van de tweede afgeleide. Een afgeleide van orde drie of hoger kan niet omdat de derde afgeleide van een tweedegraads veelterm immers nul is.

Voorbeeld van centrale differenties

In dit voorbeeld wordt een veelterm van graad 2 gebruikt, door drie punten die genummerd worden als -1, 0 en 1. Het centrale punt waar de afgeleide benaderd wordt heeft dus index 0. De stap op de x-as is h. De veelterm van graad twee door de drie punten $(x_{-1}=-h,f_{-1})$ , $(x_{0}=0,f_{0})$ en $(x_{1}=h,f_{1})$ is dan:

p(x)={\frac {f_{-1}-2f_{0}+f_{1}}{2h^{2}}}x^{2}\,+{\frac {f_{1}-f_{-1}}{h}}x\,+\,f_{0}

Door deze af te leiden, en dan x = 0 te nemen bekomt met de als centrale differentie:

f'(x_{0})\,=\,{\frac {f_{1}-f_{-1}}{2h}}\,+\,O(h^{2})

De grootte van de fout is hier evenredig met het kwadraat van de stapgrootte, zoals aangegeven door middel van de klassieke O-notatie. Dit is de nauwkeurigheid die in de onderstaande tabellen staat aangegeven.

Indien men tweemaal afleidt vindt men als centrale differentie:

f''(x_{0})\,=\,{\frac {f_{-1}-2f_{0}+f_{1}}{h^{2}}}\,+\,O(h^{2})

Voorbeeld van voorwaartse differentie

De punten worden nu genummerd met indices 0, 1 en 2, waarbij de afgeleiden in het eerste punt wordt benaderd. Dus opnieuw heeft het netpunt waar de afgeleide wordt benaderd 0 als index. De eerste orde voorwaartse differentie maakt gebruik van de twee volgende punten, en is dan:

f'(x_{0})\,=\,{\frac {-3f_{0}+4f_{1}-f_{2}}{2h}}\,+\,O(h^{2})

Dit werd dus bekomen door de parabool te bepalen door de punten $(x_{0}=0,f_{0})$ , $(x_{1}=h,f_{1})$ en $(x_{2}=2h,f_{2})$ , en diens afgeleide vervolgens te evalueren in x = 0.

Achterwaartse differentie

De coëfficiënten van achterwaartse differenties worden bekomen door de rij coëfficiënten van de bijhorende voorwaartse differenties achterstevoren te nemen, en allemaal van teken te veranderen:

f'(x_{0})\,=\,{\frac {f_{-2}-4f_{-1}+3f_{0}}{2h}}\,+\,O(h^{2})

Deze voorbeelden zijn allen gebaseerd op een 2de graads veelterm, maar een hogere nauwkeurigheid wordt bekomen door te vertrekken van veeltermen met een hogere graad. In elk geval moet het verschil tussen de graad van de gebruikte veelterm minstens gelijk zijn aan de orde van de te benaderen afgeleide.

Tabel van Centrale eindige differenties

Deze tabel bevat de coëfficiënten voor centrale differenties, voor verschillende ordes van nauwkeurigheid. De noemer is steeds een macht van h, waarbij de macht gelijk is aan de orde van de te benaderen afgeleide.

Afgeleide	Nauwkeurigheid	Graad veelterm	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4
1	2	2				−1/2	0	1/2
	4	4			1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6	6		−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	8	8	1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2	2				1	−2	1
	4	4			−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6	6		1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	8	8	−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2	4			−1/2	1	0	−1	1/2
	4	6		1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
	6	8	−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2	4			1	−4	6	−4	1
	4	6		−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6	8	7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240

Voorbeeld: de derde orde afgeleide met orde van nauwkeurigheid 2 is :

\displaystyle f'''(x_{0})=\displaystyle {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{1})+{\frac {1}{2}}f(x_{2})}{h^{3}}}+O\left(h^{2}\right).

Tabel van voorwaartse en achterwaarte eindige differenties

Deze tabel bevat de coëfficiënten voor voorwaartse differenties, voor verschillende ordes van nauwkeurigheid. De coëfficiënten van de achterwaartse differenties worden verkregen door de tabel van rechts naar links te lezen, en in het geval van een oneven afgeleide alle coëfficiënten van teken te veranderen. De noemer is steeds een macht van h, waarbij de macht gelijk is aan de orde van de te benaderen afgeleide.

Afgeleide	Nauwkeurigheid	Graad veelterm	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	1	−1	1
	2	2	−3/2	2	−1/2
	3	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	2	1	−2	1
	2	3	2	−5	4	−1
	3	4	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	5	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	6	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	7	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	334/59	−7/10
3	1	3	−1	3	−3	1
	2	4	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	5	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	6	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	7	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	8	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	4	1	−4	6	−4	1
	2	5	3	−14	26	−24	11	−2
	3	6	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	7	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	8	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Voorbeeld: De eerste orde afgeleide met orde van nauwkeurigheid 3 is:

\displaystyle f'(x_{0})=\displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{1})-{\frac {3}{2}}f(x_{2})+{\frac {1}{3}}f(x_{3})}{h}}+O\left(h^{3}\right),

en de bijhorende achterwaartse differentie is

\displaystyle f'(x_{0})=\displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h}}+O\left(h^{3}\right).

Externe links

Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations^{[dode link]}
generation of Finite Differences Formulas on Arbitrarily Spaced Grids
Finite differences^{[dode link]}

Bronnen

LLoyd N. Trefethen, Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Cornell University, 1996.
Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Finite difference coefficient op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.