Contextvrije grammatica

Een contextvrije grammatica G is een vier-tupel ${\displaystyle (V,\Sigma ,R,S\,)}$ met de eigenschappen

• ${\displaystyle V}$ is een eindige verzameling variabelen
• ${\displaystyle \Sigma }$ is het alfabet van de taal, een eindige verzameling symbolen
• ${\displaystyle V\cap \Sigma =\emptyset }$, d.w.z. dat hetzelfde symbool niet zowel in ${\displaystyle V}$ als ${\displaystyle \Sigma }$ mag liggen
• ${\displaystyle S\in V}$
• ${\displaystyle R}$ is een eindige deelverzameling van ${\displaystyle V\times (V\cup \Sigma )^{*}}$

Daarin is ${\displaystyle (V\cup \Sigma )^{*}}$ de Kleene-ster van ${\displaystyle V\cup \Sigma ,}$ dat wil zeggen, de eindige rijtjes die uit elementen van ${\displaystyle V\cup \Sigma }$ bestaan.

De elementen van ${\displaystyle V}$ worden de niet-terminale symbolen genoemd, dit zijn de hulpsymbolen die gebruikt worden bij het genereren van een zin. De elementen van ${\displaystyle \Sigma }$ worden de terminale symbolen genoemd, het zijn de symbolen die voorkomen in een zin van de taal. Er geldt dat ${\displaystyle V\cap \Sigma =\emptyset .}$ Het symbool ${\displaystyle S}$ heet het startsymbool. De elementen van ${\displaystyle R}$ worden productieregels genoemd en meestal geschreven in de vorm ${\displaystyle A\to w}$, waarbij ${\displaystyle A\in V}$ en ${\displaystyle w\in (V\cup \Sigma )^{*}}$. De grammatica G produceert via de productieregels uit R de formele taal L(G) van woorden bestaande uit de letters, symbolen uit het alfabet ${\displaystyle \Sigma }$.

Volgens de definitie geldt voor een productieregel ${\displaystyle A\to w}$, dat ${\displaystyle A}$ een niet-terminaal symbool is, dus niet omgeven door andere symbolen. Toepassing van de regel, waardoor ${\displaystyle A}$ door ${\displaystyle w}$ wordt vervangen, is dus onafhankelijk van de context.

Een eenvoudige contextvrije grammatica met twee productieregels is ${\displaystyle (\{S\},\{a,b\},R,S),}$ met als productieregels R:

S → aSb

S → ab

Het enige niet-terminale symbool is S, dit is hierdoor ook het startsymbool, en de terminale symbolen zijn a en b. Deze context-vrije grammatica genereert de niet-reguliere taal ${\displaystyle \{a^{n}b^{n}:n\geq 1\}}$, dat wil zeggen alle tekenreeksen die uit een of meer a's gevolgd door precies evenveel b's bestaan.