Bewijs door contrapositie
Het bewijs door contrapositie is een methode om het wiskundig bewijs te geven van de stelling
- als A dan B,
door het bewijzen van de stelling
- als niet B dan niet A.
In de klassieke logica is deze laatste stelling equivalent aan de eerste: een bewijs van de ene stelling is ook een bewijs van de ander.
In de intuïtionistische logica zijn beide stellingen niet equivalent. Een bewijs van (als A dan B) impliceert wel dat (als niet B dan niet A) geldt, maar de implicatie in de andere richting geldt daar niet.
Voorbeeld
De volgende stelling kunnen we met contrapositie bewijzen:
- Gegeven een positief geheel getal n. Als n geen kwadraat is, dan is irrationaal.
We bewijzen de equivalente stelling:
- Gegeven een positief geheel getal n. Als rationaal is, dan is n een kwadraat.
We nemen daartoe aan dat rationaal is. Dan kunnen we positieve gehele getallen a en b vinden zodat en ggd(a,b) = 1. Nu geldt dat niet verder vereenvoudigd kan worden. Dus geldt in het bijzonder dat b2 = 1, want n is een geheel getal. Dus n = a2. Daarmee is de equivalente stelling bewezen en dus, door contrapositie, ook de oorspronkelijke.
