Algemeen

Een natuurlijk getal x laat zich in het decimale positiestelsel uitdrukken als een reeks van termen van machten van een ander natuurlijk getal, het grondtal, a:

${\displaystyle \,x=\sum _{i=0}^{k}x_{i}a^{i}}$

of

${\displaystyle \,x=x_{k}a^{k}+...+x_{2}a^{2}+x_{1}a^{1}+x_{0}a^{0}}$

waarbij de coëfficiënten x_i natuurlijke getallen zijn kleiner dan het grondtal, of nul.

In het a-tallige stelsel wordt x nu voorgesteld door de rij cijfers:

${\displaystyle \,x_{k}...x_{2}x_{1}x_{0}}$.

De coëfficiënten x_i vormen in volgorde de cijfers van het getal. Het meest linkse cijfer x_k is de coëfficiënt van de hoogste macht van het grondtal, het meest rechtse x₀ de coëfficiënt van de eenheden (de 0-de macht van het grondtal).

Bovenstaande formules zien er ingewikkeld uit, maar met een voorbeeld wordt alles duidelijker:

• Het decimale getal 1432 wordt met bovenstaande formule: ${\displaystyle 1\cdot 10^{3}+4\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}=1000+400+30+2=1432}$
• In het octale stelsel, dus met grondtal 8, gebruikt men de cijfers 0, 1, ..., 7. Het getal 1432 in het octale stelsel betekent in het decimale stelsel: ${\displaystyle 1\cdot 8^{3}+4\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+2\cdot 8^{0}=512+256+24+2=794}$. Dus 1432₍₈₎=794₍₁₀₎.

472₍₈₎ = ?₍₁₀₎

Als voorbeeld hier het omrekenen van het octale getal 472₍₈₎ naar een decimaal getal. We nemen de volgende stappen:

1. Voor het bepalen van de positie tellen we vanaf 0 en niet vanaf 1.
2. Bepaal voor elke positie het gewicht als het grondtal tot de macht de positie. Bij positie 2 is het gewicht dus 8²=64.
3. Reken voor elk cijfer de bijdrage uit door het cijfer te vermenigvuldigen met het gewicht. Bij cijfer 4 is de bijdrage dus 4 * 64 = 256.
4. Tel de bijdragen van de cijfers bij elkaar op.

De uitwerking is dus als volgt: het getal is 472₍₈₎

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{positie}}&{\text{gewicht}}&{\text{cijfer}}&{\text{bijdrage}}\\0&\ 1&2&\ \ 2\\1&\ 8&7&\ 56\\2&64&4&256\\&\ &{\text{totaal}}&314\end{matrix}}}$

Het resultaat is :

${\displaystyle {\begin{matrix}472_{(8)}&=&4*8^{2}+7*8^{1}+2*8^{0}\\&=&4*64+7*8+2*1\\&=&256+56+2\\&=&314\end{matrix}}}$

Dus 472₍₈₎ = 314₍₁₀₎. Merk op dat in bovenstaande uitwerking alles aan de rechterkant in het decimale talstelsel wordt uitgerekend.

472₍₈₎ = ?₍₁₀₎, met computeralgoritme

Bovenstaande methode wordt als mens vaak gebruikt, maar mocht je dit in een programma wensen te gieten, kan onderstaand recursief algoritme van pas komen:

1. 'variabelen instellen
2. in = inlezen getal
3. grondtal = inlezen grondtal
4. uit = meest linkse getal van in
5. in = in, zonder meest linkse getal
6. 
   
7. 'lus
8. uit = uit * grondtal
9. getal = meest linkse getal van in
10. uit = uit + getal
11. in = in, zonder meest linkse getal. Als 'in' niet leeg, naar stap 8
12. 
    
13. 'antwoord
14. output uit.

Voor het bovenstaande voorbeeld wordt dit:

1. in = 472
2. grondtal = 8
3. uit = 4
4. in = 72
5. 
   
6. uit = 4 * 8 = 32
7. getal = 7
8. uit = 32 + 7 = 39
9. in = 2
10. 
    
11. uit = 39 * 8 = 312
12. getal = 2
13. uit = 312 + 2 = 314
14. in = STOP
15. 
    
16. Het antwoord is 314

23₍₁₀₎ = ?₍₂₎

Vanuit het tellen weten we al dat de basis van het binaire stelsel neerkomt op het maken van groepjes van twee. Dit kunnen we makkelijkst bepalen met de Euclidische deling.

 D / G =  Q R      Uitleg           Q                                 R
--------------------------------------------------------------------------------------
23 / 2 = 11 1  ^   23 = 11 * 2 + 1  XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX  X
11 / 2 =  5 1 /|\  11 =  5 * 2 + 1  XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX          XX
 5 / 2 =  2 1  |    5 =  2 * 2 + 1  XXXXXXXX XXXXXXXX                 XXXX 
 2 / 2 =  1 0  |    2 =  1 * 2 + 0  XXXXXXXXXXXXXXXX
 1 / 2 =  0 1  |    1 =  0 * 2 + 1                                    XXXXXXXXXXXXXXXX

Uitleg:

1. Blijkbaar kunnen we 11 groepen van 2 maken en hebben we 1 restgroep X.
2. Bij de volgende stap proberen we te kijken hoeveel XX-groepjes we per twee kunnen samennemen. Blijkbaar kunnen we 10 XX-en samennemen tot 5 XXXX-en, waarbij er 1 restgroep XX is.
3. Dit algoritme herhalen we: ditmaal kunnen we 4 XXXX-en samennemen tot 2 XXXXXXXX-en, met 1 restgroep XXXX.
4. Bij de vierde stap kunnen we de XXXXXXXX en XXXXXXXX samennemen tot XXXXXXXXXXXXXXXX en hebben we geen restgroep.
5. De vijfde stap wordt al eens over het hoofd gezien, maar we moeten blijven verderdelen tot het quotiënt 0 wordt. Daar we niets meer kunnen samennemen hebben we nu 1 restgroep XXXXXXXXXXXXXXXX.
6. Voor het bepalen van het antwoord moeten we van beneden naar boven lezen en krijgen we: 23₍₁₀₎=10111₍₂₎

1203₍₁₀₎ = ?₍₁₆₎

Stel, we willen 1203₍₁₀₎ omzetten naar hexadecimaal. Hiervoor kunnen we hetzelfde algoritme gebruiken als het vorige voorbeeld. Het enige verschil is dat het grondtal (deler) ditmaal 16 is, maar ook hier blijven we delen tot we als quotiënt 0 uitkomen. De kruisjes worden deze keer achterwege gelaten, omdat er teveel zijn:

   D /  G =  Q  R      Uitleg            
-------------------------------------------
1203 / 16 = 75  3  ^   1203 = 75 * 16 + 3  
  75 / 16 =  4 11 /|\    75 =  4 * 16 + 11 
   4 / 16 =  0  4  |      4 =  0 * 16 + 4  

Merk op:

1. Delen door 2 kunnen we gemakkelijk uit het hoofd, maar delen door 16 is moeilijker. Een klassiek rekentoestel kan een hulpmiddel zijn, maar rekent meestal niet Euclidisch. Toch kan je snel rekenen met: 1203 / 16 = 75,1875 ==> 75,1875 - 75 = 0,1875 ==> 0,1875 * 16 = 3.
2. Opnieuw moet je van beneden naar boven aflezen, maar 4113 zou een fout antwoord zijn, want 4113₍₁₆₎ = 16659₍₁₀₎. De '11' moeten we namelijk eerst omzetten naar een hexadecimaal "cijfer": 11₍₁₀₎ == B₍₁₆₎.
3. Het antwoord wordt dan: 1203₍₁₀₎ == 4B3₍₁₆₎

Hexadecimaal <-> binair

Wil je weten wat 30F2₍₁₆₎ is in binair? Neem elk getal apart en schrijf deze op:

hex     3     0    F    2
bin  0011  0000 1111 0010

Conclusie: 30F2₍₁₆₎ = 0011 0000 1111 0010₍₂₎.

De andere kant op werkt net zo gemakkelijk. Wil je weten wat 11000011110010₍₂₎ is in hexadecimaal?

Groepeer eerst het binaire getal per 4 cijfers, beginnend aan de rechterkant.

bin 11 0000 1111 0010

Is er op het eind geen groep van 4, dan kun je hier nullen aan toevoegen.

bin 0011 0000 1111 0010

Nu kun je per groep kijken welke cijfer er bij hoort

bin 0011 0000 1111 0010
hex    3    0    F    2

Conclusie: 11000011110010₍₂₎ = 30F2₍₁₆₎.

Octaal <-> binair

De omzetting octaal naar binair (en omgekeerd) is net zo gemakkelijk. Binnen deze cursus gaan we daar niet verder op in.

Decimaal <-> binair

De "shortcut" omzetting van decimaal naar binair lukt niet! Dit omdat het grondtal 10 geen macht is van twee. Om één decimaal cijfer voor te stellen zijn 3 bits namelijk te weinig (daar kan je maximaal 7 en niet 9 mee voorstellen) en zijn 4 bits te veel (daar kan je maximaal niet 9 mee voorstellen, maar 15).

Als je het toch probeert, krijg je fouten. Zo zou 74₍₁₀₎ met een shortcutomzetting waar vier bits worden gebruikt 0111 0100₍₂₎ = 01110100₍₂₎ worden, maar dat binaire getal is 116₍₁₀₎ (te bepalen via de somregel). Het juiste antwoord is 74₍₁₀₎=1001010₍₂₎ (te bepalen via de Euclidische deling)!

Conclusie: de omzetting decimaal <-> binair mag NIET via een shortcut!