Werkzame doorsnede

Als het gaat om het elkaar raken van een puntdeeltje en een bol is de werkzame doorsnede eenvoudig de doorsnede van de bol.

Een intuïtief begrip van het concept van werkzame doorsnede kan verder worden verkregen als we een opstelling beschouwen waarbij een bundel deeltjes (bijvoorbeeld alfadeeltjes of protonen) invalt op een vast target, bijvoorbeeld een stuk metaalfolie. Een deel van de inkomende deeltjes zal ongehinderd door het folie schieten, de rest zal op de een of andere manier een wisselwerking aangaan (die deeltjes kunnen verstrooien of zelfs een reactie aangaan met een van de atoomkernen in het folie). Als we nu doen alsof de inkomende deeltjes puntdeeltjes zijn en de deeltjes in het target schijfjes met een bepaald oppervlak, en dat er een wisselwerking plaatsvindt als een inkomend deeltje op zo'n schijfje terechtkomt en ongehinderd doorgaat als het ernaast terechtkomt, dan kunnen we een soort "effectief oppervlak" bepalen voor de deeltjes in het target. Dit is dan de werkzame doorsnede.

Concreet: bij een experiment waarbij het "bestraalde" oppervlak A is, het aantal invallende deeltjes per tijdseenheid N₀ is, het aantal deeltjes in het bestraalde deel van het target n is, en het aantal wisselwerkingen per tijdseenheid N is, kunnen we de werkzame doorsnede vinden als

${\displaystyle \sigma ={\frac {AN}{N_{0}n}}}$

Deze grootheid is onafhankelijk van de experimentele parameters (intensiteit en grootte van de bundel en dichtheid en dikte van het materiaal) en karakteriseert enkel het fysische proces. Voorwaarde is wel dat het aantal inkomende deeltjes en het aantal targets niet te groot zijn: de kans dat een interactie een soortgelijke interactie verhindert of bevordert (zoals wanneer achter een target een ander target ligt) moet verwaarloosbaar zijn.

De werkzame doorsnede hangt af van het soort en de snelheid van de deeltjes in de bundel en in het target en van het soort interactie, en is dus niet direct gerelateerd aan de fysieke grootte van de deeltjes.

De eenvoudige definitie uit de voorgaande paragraaf is een voorbeeld van een totale werkzame doorsnede. Er wordt enkel gekeken of een deeltje wisselwerkt bij gegeven energie. Vaak, vooral bij verstrooiingsprocessen, is men ook geïnteresseerd in de hoek waaronder het ingeschoten deeltje het target verlaat. Hiervoor gebruikt men de zogeheten differentiële werkzame doorsnede. Ook deze is zodanig gedefinieerd dat hij niet meer afhankelijk is van experimentele parameters zoals de dikte van het target en de intensiteit van de bundel, maar enkel van het fysische verstrooiingsproces zelf. Deze differentiële werkzame doorsnede, die men schrijft als dσ / dΩ, geeft een maat voor de waarschijnlijkheid dat deeltjes onder een bepaalde hoek verstrooien.

Gebruikte grootheden in de definitie van de differentiële werkzame doorsnede

Stel dat we een bundel deeltjes afschieten op een target. We hebben boven al gezien hoe we dan de werkzame doorsnede σ kunnen definiëren. De uitgaande deeltjes zullen echter in het algemeen niet gelijkmatig verdeeld zijn over de mogelijke richtingen. Als we kijken naar een klein stukje ruimtehoek ΔΩ onder een specifieke hoek, die we bijvoorbeeld als (θ, φ) kunnen noteren, zal daar een aantal deeltjes ΔN per tijdseenheid worden gemeten. Net als bij de "totale" werkzame doorsnede kan dit worden genormaliseerd:

${\displaystyle \Delta \sigma (\theta ,\phi )={\frac {A\,\Delta N(\theta ,\phi )}{N_{0}\,n}}}$

Door nu te delen door de ruimtehoek ΔΩ vinden we een benadering voor de "werkzame doorsnede per eenheid ruimtehoek" voor een gegeven hoek. Het nemen van de continue limiet (Δσ / ΔΩ → dσ / dΩ) geeft dan de differentiële werkzame doorsnede dσ / dΩ, die een functie is van de hoek (uit symmetrieoverwegingen enkel de verstrooiingshoek θ, niet de azimutale hoek φ) en van de energie E van het invallende deeltje. De eenheid is eveneens de barn, maar de dimensie is eigenlijk oppervlak per eenheid ruimtehoek.

Voor de rutherfordverstrooiing geldt bijvoorbeeld

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}\propto {\frac {1}{E^{2}\sin ^{4}(\theta /2)}}}$

met θ de verstrooiingshoek en E de kinetische energie van de invallende deeltjes.