Torens van Hanoi
De Torens van Hanoi is een spel of puzzel met een aantal schijven. Het spel bestaat uit een plankje met daarop drie stokjes. Bij aanvang van het spel is op een van de stokjes een kegelvormige toren geplaatst van schijven met een gat in het midden. De schijven hebben verschillende diameters, in toenemende grootte. Ze zijn zo geplaatst dat de kleinste schijf bovenop en de grootste onderop ligt.
Het doel van het spel is om de complete toren van schijven te verplaatsen naar een ander stokje, waarbij de volgende regels in acht genomen dienen te worden:
- Er mag slechts 1 schijf tegelijk worden verplaatst.
- Nooit mag een grotere schijf op een kleinere rusten.
Om praktische redenen heeft de toren meestal 8 schijfjes, omdat een spel met dit aantal binnen een minuut of 6 op te lossen is. Iedere extra schijf verdubbelt de minimale oplostijd.
Analyse
Het is vrij gemakkelijk aan te tonen dat het probleem oplosbaar is, ongeacht het aantal schijven, en wel in 2n−1 zetten, waarbij n het aantal schijven is.
Het is een geliefd probleem in programmeercursussen, omdat het zeer elegant op recursieve wijze op te lossen is.
De oplosfunctie kan in pseudocode als volgt worden geformuleerd:
functie Hanoi (aantal, bronstok, doelstok);
- als (aantal gelijk is aan 1),
- plaats dan de schijf op bronstok naar doelstok;
- anders
- Hanoi (aantal −1, bronstok, derde stok);
- Hanoi (1, bronstok, doelstok);
- Hanoi (aantal −1, derde stok, doelstok);
Hieraan is ook meteen te zien dat de oplossing voor 1 schijf minimaal 1 zet vergt, en dat een grotere toren kan worden opgelost in tweemaal het aantal zetten voor de toren met 1 schijf minder, plus 1.
- 1 schijf → 1 zet
- 2 schijven → 2×1 + 1 = 3 zetten
- 3 schijven → 2×3 + 1 = 7 zetten
- 4 schijven → 2×7 + 1 = 15 zetten
Het aantal zetten is steeds het dubbele aantal van de vorige stapel + 1.
Handmatig oplossen
Lost men de puzzel met de hand op, dan wordt er gemakkelijk een fout gemaakt, waardoor het oplossen langer duurt. Er is echter een eenvoudige manier om het wel goed te doen.
Eerste zet
- Is er een oneven aantal schijven, leg dan de eerste schijf op de stok waarop je uiteindelijk wilt eindigen. Is er een even aantal schijven, leg dan de eerste schijf op de andere stok.
Methode 1
Doe om en om de volgende zetten, totdat de oplossing gevonden is:
- Verplaats een schijf (niet de kleinste) volgens de regels (er is nu slechts één mogelijkheid hiervoor).
- Verplaats de kleinste schijf naar de stok waar hij niet het meest recentelijk vandaan kwam. Anders gezegd, verplaats de kleinste schijf steeds van stok 1 naar stok 2, van 2 naar 3, van 3 naar 1 (of steeds andersom).
Methode 2
- Geef de schijven om en om een andere kleur.
- Verplaats nooit twee keer dezelfde schijf.
- Leg nooit een schijf op een schijf die dezelfde kleur heeft.
Oorsprong
Het spel is uitgevonden door de Franse wiskundige Édouard Lucas in 1883. Er is een legende over een hindoe-tempel in de Indiase stad Benares onder keizer Fo Hi, waarvan de priesters, de brahmanen, zich bezighouden met het verplaatsen van een toren van 64 gouden schijven. De schijven liggen op drie naalden van diamant, een el lang en zo dik als het lichaam van een bij. Volgens de legende komt de wereld tot een einde als het werk af is. Het is niet duidelijk of Lucas deze legende bedacht heeft of er alleen door is geïnspireerd.
Aannemend dat de priesters 1 schijf per seconde zouden verplaatsen, zou het 264 − 1, is ongeveer 1,84×1019 seconden duren de puzzel af te maken. Dit komt overeen met ruwweg 585 miljard jaar, ruwweg 43 maal zo lang als de geschatte leeftijd van het universum.