Regel van l'Hôpital

Als voor twee differentieerbare functies ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ en een getal ${\displaystyle a}$ voldaan is aan een van de voorwaarden:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}g(x)=0}$

of

${\displaystyle \lim _{x\to a}{|f(x)|}=\lim _{x\to a}{|g(x)|}=\infty }$,

geldt

${\displaystyle \lim _{x\to a}{f(x) \over g(x)}=\lim _{x\to a}{f'(x) \over g'(x)}}$

mits de limiet in het rechterlid bestaat.

Door toepassing van deze regel kunnen onbepaaldheden van de vorm ${\displaystyle 0/0}$ en ${\displaystyle \infty /\infty }$ mogelijk opgelost worden.

Zij:

• ${\displaystyle f(a)=g(a)=0\left({\mbox{ of }}\lim _{x\to a}{f(x)}=\pm \infty \land \lim _{x\to a}{g(x)}=\pm \infty \right)}$,

• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {I} \backslash \{a\}:g(x)\neq 0\left(\mathbb {I} =\left]b,c\right[;a\in \mathbb {I} \right)}$,

• ${\displaystyle f'(a),g'(a)\in \mathbb {R} ;g'(a)\neq 0}$

Dan geldt:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}\Leftrightarrow {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\left({\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\right)}}}$,

zodat

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to a}{\left[{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\right]}}{\lim \limits _{x\to a}{\left[{\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\right]}}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}}$

Laat ${\displaystyle I=(b,a)}$ een niet-leeg open interval zijn en${\displaystyle f,\,g:I\to \mathbb {R} }$ twee differentieerbare functies waarvoor de linkerlimieten ${\displaystyle \lim _{x\uparrow a}f(x)}$ en ${\displaystyle \lim _{x\uparrow a}g(x)}$ beide bestaan en gelijk zijn aan 0, of beide divergeren naar ${\displaystyle \pm \infty }$.

Als ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ voor alle ${\displaystyle x\in I}$ en

${\displaystyle \lim _{x\uparrow a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

bestaat of divergeert naar ${\displaystyle \pm \infty }$, dan bestaat ook

${\displaystyle \lim _{x\uparrow a}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$

of divergeert naar ${\displaystyle \pm \infty }$

Analoge resultaten gelden voor een interval ${\displaystyle I=(a,b)}$ en rechterlimieten, en voor ${\displaystyle a=\pm \infty }$

Als ${\displaystyle I}$ een echte deelverzameling is van een open interval waarop aan de genoemde voorwaarden voldaan is, dan geldt in het bijzonder:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=c\ \Rightarrow \ \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=c}$

Als voorbeeld kan de regel van l'Hôpital gebruikt worden om te berekenen dat:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\sin {x} \over x}=\lim _{x\to 0}{\cos {x} \over 1}=1}$

Merk op dat dit ook gewoon de definitie van de afgeleide van ${\displaystyle \sin(x)}$ in het punt ${\displaystyle x=0}$ is.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1/(2{\sqrt {x}})}{1/x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty }$

Via de volgende manier kan men een limiet met als uitkomst een onbepaalde vorm oplossen door om te vormen naar een breuk, en daar de regel van l'Hôpital op toe te passen. Als er bijvoorbeeld een limiet is met uitkomst:

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\cdot g(x)=0\cdot \infty }$ dan vormen we het rechterlid om tot ${\displaystyle 0\cdot {\frac {1}{\frac {1}{\infty }}}={\frac {0}{\frac {1}{\infty }}}={\frac {0}{0}}}$

In deze vorm kan de regel van l'Hôpital toegepast worden. Dit gebeurt als volgt:

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{\left({\frac {1}{g(x)}}\right)'}}}$