Probleem van Burnside

Het probleem van Burnside werd in 1902 geponeerd door William Burnside. Het is een van de oudste en meest invloedrijke vragen in de groepentheorie. Het probleem van Burnside vraagt zich af of een eindig genererende groep, waarin elk element een eindige orde heeft, noodzakelijkerwijs ook een eindige groep is. In gewone taal; wanneer men door het kijken naar afzonderlijke elementen van een groep, vermoedt dat de gehele groep eindig is, is dit dan inderdaad het geval? Het probleem kent vele varianten, die verschillen in de aanvullende voorwaarden, die aan de orden van de groepselementen worden opgelegd.

Vrije Burnside groep van exponent 3 met 2 generatoren

Beknopte geschiedenis

Initiële werkzaamheden wezen op een bevestigend antwoord. Als bijvoorbeeld een groep G wordt gegenereerd door m elementen en de orde van elk element van G een deler van 4 is, dan is G eindig. Verder bewezen A.I. Kostrikin (voor het geval van een priemexponent) en Efim Zelmanov (voor het algemene geval) dat er onder de eindige groepen met een gegeven aantal generatoren en exponenten, altijd een grootste bestaat. Issai Schur toonde aan dat elke eindig gegenereerde periodieke groep, die een deelgroep van de groep van inverteerbare n x n complexe matrices vormt, eindig is; hij maakte gebruik van deze stelling om de stelling van Jordan-Schur te bewijzen[1]

Voetnoten
  1. Curtis, Charles; Reiner, Irving, Representation Theory of Finite Groups and Associated Algebras. John Wiley & Sons (1962), p. 256-262.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.