Onderscheidend vermogen

Twee normaal verdeelde populaties A en B met een verschillende behandeling worden vergeleken op basis van steekproeven X respectievelijk Y, elk van omvang n. De standaardafwijkingen van beide populaties zijn gelijk, zeg σ, en de hypothesen voor de verwachtingswaarden luiden:

${\displaystyle H_{0}:\ \mu _{A}=\mu _{B}\,}$

tegen

${\displaystyle H_{1}:\ \mu _{A}>\mu _{B}\,}$

Als toetsingsgrootheid T komt in aanmerking:

${\displaystyle {\bar {X}}-{\bar {Y}}}$,

maar om de berekeningen eenvoudiger te maken kiezen we:

${\displaystyle T={\frac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}}{\sigma }}{\sqrt {\frac {n}{2}}}}$,

Gezien de alternatieve hypothese wordt H₀ verworpen voor grote waarden van T. De kritieke waarde is z_α, bepaald door:

${\displaystyle P(T\geq z_{\alpha }|H_{0})=\alpha }$,

waarin α de verlangde onbetrouwbaarheid is. Het onderscheidend vermogen van deze toets is nu:

${\displaystyle \gamma (\Delta )=P(T\geq z_{\alpha }\mid \mu _{A}-\mu _{B}=\Delta )=}$

${\displaystyle =P\left(\left.T-{\frac {\Delta }{\sigma }}{\sqrt {\frac {n}{2}}}\geq z_{\alpha }-{\frac {\Delta }{\sigma }}{\sqrt {\frac {n}{2}}}\ \right|\,\mu _{A}-\mu _{B}=\Delta \right)=}$

${\displaystyle =P\left(Z>z_{\alpha }-{\frac {\Delta }{\sigma }}{\sqrt {\frac {n}{2}}}\right)}$,

gedefinieerd voor Δ > 0. Daarin is Z standaard normaal verdeeld.

Om bij een bepaalde grootte Δ van het verschil tussen de beide populaties een voldoend onderscheidende toets te hebben, kiest men de steekproefomvang zo dat:

${\displaystyle \gamma (\Delta )=1-\beta \,}$,

dus:

${\displaystyle \beta =P\left(Z\leq z_{\alpha }-{\frac {\Delta }{\sigma }}{\sqrt {\frac {n}{2}}}\right)}$.

daaruit volgt:

${\displaystyle z_{\alpha }-{\frac {\Delta }{\sigma }}{\sqrt {\frac {n}{2}}}=-z_{\beta }}$,

dus:

${\displaystyle n=2\left({\frac {\sigma }{\Delta }}(z_{\alpha }+z_{\beta })\right)^{2}}$,