Methode van Müller

Daar waar de secant-methode gebruikmaakt van het nulpunt van een rechte door twee punten van de op te lossen functie, gebruikt de methode van Muller een nulpunt van een parabool door drie punten; Hierdoor krijgt men toegang tot complexe wortels.

Bij drie gegeven punten ${\displaystyle P_{i-2}=(x_{i-2},f(x_{i-2})),P_{i-1}=(x_{i-1},f(x_{i-1})),P_{i}=(x_{i},f(x_{i}))}$ wordt de parabool door deze drie punten bepaald. Neemt men de parabool van de vorm

${\displaystyle p(x)=A(x-x_{i})^{2}+B(x-x_{i})+C}$

en definieert men :

${\displaystyle h_{0}=x_{i-1}-x_{i-2}}$

${\displaystyle h_{1}=x_{i}-x_{i-1}}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {f(x_{i-1})-f(x_{x-2})}{h_{0}}}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {f(x_{i})-f(x_{x-1})}{h_{1}}}}$

dan is :

${\displaystyle A={\frac {d_{1}-d_{0}}{h_{1}+h_{0}}}}$

${\displaystyle B=A\,h_{1}+d_{1}}$

${\displaystyle C=f(x_{i})}$

De parabool heeft twee wortels :

${\displaystyle x_{\pm }=x_{i}+{\frac {-2C}{B\pm {\sqrt {B^{2}-4AC}}}}}$

en

${\displaystyle x_{i+1}=x_{+}}$ of ${\displaystyle x_{i+1}=x_{-}}$

De keuze van het plus- of minteken in de noemer wordt bepaald door die keuze waarvoor de noemer in absolute waarde het grootst is.

Ook reële wortels blijken soms via complexe iteraties benaderd worden, zodat nog een (verwaarloosbaar) klein complex deel kan overblijven nadat de gewenste nauwkeurigheid bereikt is.

Indien een reële wortel ${\displaystyle x_{i+1}=a}$ gevonden is kan die in de veelterm worden weggedeeld door middel van een factor ${\displaystyle (x-a)}$. Indien de wortel complex is ${\displaystyle x_{i+1}=a+jb}$, dan is ook zijn complex toegevoegde een wortel, en kunnen ze samen worden weggedeeld door de factor ${\displaystyle (x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2})}$. Dit proces van deflatie wordt toegepast tot alle wortels gevonden zijn.

De veelterm

${\displaystyle p(x)=x^{5}-11x^{4}+46x^{3}-106x^{2}-15x-875}$

heeft vijf wortels:

${\displaystyle -1\pm 2j,\quad 3\pm 4j}$ en ${\displaystyle 7}$

Met de beginwaarden:

${\displaystyle x_{0}=-1,\quad x_{1}=0,\quad x_{2}=1}$

krijgt men als opeenvolgende iteraties :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=&0{,}13675+2{,}73129j\\x_{4}&=&-2{,}09597+1{,}84751j\\x_{5}&=&-0{,}85137+2{,}36063j\\x_{6}&=&-1{,}07320+2{,}02847j\\x_{7}&=&-0{,}99693+1{,}99546j\\x_{8}&=&-0{,}99999+2{,}00002j\\x_{9}&=&-1{,}00000+2{,}00000j\\x_{10}&=&-1{,}00000+2{,}00000j\end{aligned}}}$

Bijgevolg is ook

${\displaystyle x_{9}^{*}=-1-2j}$

een wortel, en kan in de veelterm een factor

${\displaystyle (x+1-2j)(x+1+2j)=x^{2}+2x+5}$

worden weggedeeld, tot

${\displaystyle p(x)=x^{3}-5x^{2}-9x-35}$.

Van deze restveelterm kunnen dan weer verdere wortels bepaald worden.