Kwantiel

Voor een kenmerk ${\displaystyle X}$ van een abstracte populatie gegeven door een kansverdeling is het getal ${\displaystyle x_{p}}$ een ${\displaystyle p}$-kwantiel als:

${\displaystyle P(X\leq x_{p})\geq p}$

en

${\displaystyle P(X\geq x_{p})\geq 1-p}$

In het bijzonder kunnen dus meerdere ${\displaystyle p}$-kwantielen bestaan. Om eenduidigheid af te dwingen wordt door sommige auteurs het gemiddelde van de mogelijke waarden die als kwantiel in aanmerking komen, als kwantiel gedefiniererd.

Voor een concrete populatie of een steekproef, bestaande uit ${\displaystyle n}$ getallen ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, waaronder mogelijk gelijke, wordt het ${\displaystyle p}$-kwantiel ${\displaystyle x_{p}}$ bepaald door de eisen:

• ten minste ${\displaystyle \quad \ pn\quad }$ van de data zijn kleiner dan of gelijk aan ${\displaystyle x_{p}}$.
• ten minste ${\displaystyle (1-p)n}$ van de data zijn groter dan of gelijk aan ${\displaystyle x_{p}}$.

Hier geldt hetzelfde als in een discrete verdeling: als twee aangrenzende uitkomsten aan de eisen voldoen, neemt men het gemiddelde van beide als kwantiel.

In een abstracte of concrete populatie is een kwantiel een parameter van de populatie. In een steekproef is een kwantiel een schatting van het overeenkomstige kwantiel in de populatie waaruit de steekproef getrokken is.

Het 0,20-kwantiel ${\displaystyle x_{0{,}20}}$ in een exponentiële verdeling met parameter 1 wordt bepaald door de vergelijking:

${\displaystyle 0{,}20=F(x_{0{,}20})=1-e^{-x_{0{,}20}}}$,

waaruit volgt:

${\displaystyle x_{0{,}20}=-\ln(0{,}80)=\ln(5)-\ln(4)}$

Het 0,2-kwantiel van de (geordende) dataset:

${\displaystyle 2,3,5,7,8,9,11,12,15}$

is het getal 3. Er zijn 2, dus ten minste 1,8 getallen kleiner dan of gelijk aan 3 en er zijn 8, dus ten minste 7,2 getallen groter dan of gelijk aan 3.

Van de dataset:

${\displaystyle 2,3,5,7,8,9,11,12,15,20}$

voldoen zowel 3 als 5 aan de eisen. Het 0,2-kwantiel kwantiel is dus (3+5)/2 = 4. We zien ook dat 4 mooi de dataset in een deel van 2 en een deel van 8 getallen scheidt.

Als de dataset een eindige populatie of een steekproefuitkomst betreft van ${\displaystyle n}$ elementen, is het ${\displaystyle p}$-kwantiel het "element" met als rangnummer in de geordende data:

${\displaystyle pn+{\tfrac {1}{2}}}$

Het woord "element" staat tussen aanhalingstekens, want niet altijd is dit rangnummer een geheel getal. Als kwantiel wordt dan het gemiddelde van de omliggende elementen gekozen.

De kwantielen die behoren bij een verdeling in 2, 4, 10 of 100 delen hebben een aparte naam. Bij een verdeling in:

•     2 delen: mediaan
•     4 delen: kwartielen
•   10 delen: decielen
• 100 delen: percentielen