Isoperimetrisch quotiënt

In de meetkunde is het isoperimetrisch quotiënt een maat voor de relatie tussen de omsloten oppervlakte en de omtrek van vlakke, en het ingesloten volume en de oppervlakte van ruimtelijke figuren, dus een maat voor de relatie tussen de buitenkant en het binnenste van een vorm. De maat is zodanig dat deze voor gelijkvormige figuren gelijk is, en wordt ingegeven door het isoperimetrisch probleem, dat bij gegeven omtrek of oppervlakte vraagt naar de figuur met de grootste oppervlakte, respectievelijk het grootste volume. De cirkel is de vlakke, en de bol de ruimtelijke figuur die de oplossingen zijn. Daarom is het isoperimetrisch quotiënt zo gedefinieerd dat het voor deze figuren de waarde 1 heeft. Voor alle figuren is het isoperimetrisch quotiënt dus kleiner dan of gelijk aan 1, wat de isoperimetrische ongelijkheid genoemd wordt.

Het begrip isoperimeter is afgeleid van het Grieks en betekent: gelijke omhullende afmetingen.

Definitie

Voor een vlakke figuur met oppervlakte $A$ en omtrek $O$ wordt het isoperimetrisch quotiënt $IQ$ gegeven door:

IQ={\frac {4\pi A}{O^{2}}}

Voor een ruimtelijke figuur met inhoud $V$ en oppervlakte $A$ wordt het isoperimetrisch quotiënt $IQ$ gegeven door:

IQ={\frac {36\pi V^{2}}{A^{3}}}

Eigenschappen

Het $IQ$ van een bol is 1.
Het $IQ$ van een cirkel is 1.
Het IQ van elke figuur is ten hoogste gelijk aan 1 (isoperimetrische ongelijkheid).
Het IQ van gelijkvormige figuren is gelijk. (Doordat geschikte machten worden gebruikt in teller en noemer, vallen de optredende gelijkvormigheidsfactoren tegen elkaar weg.)

Tabel

In de onderstaande tabel staat voor een aantal ruimtelijke figuren het IQ, oplopend geordend. De genoemde (afnemende) oppervlakten in bijvoorbeeld cm² behoren steeds bij een inhoud van 1000 cm³.

Afgeknotte icosaëder	Stompe dodecaëder
Bol

Ruimtelijke figuur	Oppervlakte bij een inhoud van 1000	$IQ$
viervlak	721	0,302
kegel met $h=2r{\sqrt {2}}$ ^¹⁾	609	0,5 ^⁴⁾
kubus	600 ^⁴⁾	0,523
octaëder	572	0,605
cilinder ( $h=2r$ ) ^¹⁾	553	0,667
dodecaëder	531	0,755
icosaëder	515	0,829
afgeknotte icosaëder ^²⁾	500 ^³⁾	0,903
stompe dodecaëder	492	0,947
bol	484	1 ^⁴⁾

¹⁾ Kegelvorm met het hoogste IQ.
²⁾ De afgeknotte icosaëder wordt veelvuldig in het leer of plastic uitgevoerd als voetbal. Waarom hiervoor niet een stompe dodecaëder wordt toegepast die meer de bol benadert, zal duidelijk zijn: een afgeknotte icosaëder bezit 32 vlakken en een stompe dodecaëder bestaat uit 92 vlakken, en is daardoor ingewikkelder.
³⁾ Niet exact 500, met een extra decimaal wordt het 500,3.
⁴⁾ Exact.

Verhouding tussen oppervlak en omtrek bij regelmatige veelhoeken

Regelmatige veelhoeken zijn tweedimensionale meetkundige figuren, bestaande uit een eindig aantal lijnstukken die alle dezelfde lengte hebben. Voorbeelden hiervan zijn:

In onderstaande tabel staat de isoperimetrische ongelijkheid voor een aantal regelmatige veelhoeken met oplopende IQ en kleiner wordende omtrek O. Voor de omtrek O in bijvoorbeeld cm wordt uitgegaan van een oppervlak A van 1000 cm².

Vierkant

Zeventienhoek

Cirkel

Regelmatige veelhoek	Omtrek bij een oppervlakte van 1000	IQ
driehoek	144	0,605
vierkant	127	0,785
vijfhoek	121	0,865
zeshoek	118	0,907
achthoek	115	0,948
tienhoek	114	0,967
twaalfhoek	113	0,977
zeventienhoek	112,75	0,988
vierentwintighoek	112,42	0,994
cirkel	112	1

Reeds in de oudheid was men verrukt over de cirkel. Proclus, een Grieks neoplatonisch filosoof en wiskundige, zei over de cirkel het volgende: De cirkel is de eerste, de eenvoudigste en de meest volmaakte figuur. Later zei Dante Alighieri over de cirkel: Lo cerchio è perfetissima figura (De cirkel is het meest volmaakte figuur).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.