Gaussische functie

De functie is symmetrisch ten opzichte van ${\displaystyle x=b}$, en heeft daar een maximum, de waarde ${\displaystyle a}$. Naarmate ${\displaystyle x}$ zich van ${\displaystyle b}$ verwijdert neemt de functiewaarde eerst langzaam, maar al gauw zeer snel af, maar deze blijft wel groter dan nul.

Een andere belangrijke eigenschap van een Gaussische functie is dat de Fourier-getransformeerde van een Gaussische functie opnieuw een Gaussische functie oplevert. Dit kan eenvoudig aangetoond worden. Stel dat de Gaussische functie van volgende vorm is (met ${\displaystyle a>0}$):

${\displaystyle f(x)=e^{-ax^{2}}}$

De Fourier-getransformeerde ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ wordt gegeven door:

${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}(f)(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-i\omega x}\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}-i\omega x}\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left({\sqrt {a}}x+{\frac {i\omega }{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}+\left({\frac {i\omega }{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}}\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4a}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left({\sqrt {a}}x+{\frac {i\omega }{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}}\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4a}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2a}}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4a}}}}$

Dit is inderdaad opnieuw een Gaussische functie.