Feynman-integratiemethode

Voor het berekenen van de integraal

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x}$

wordt een functie ${\displaystyle h(x,y)}$ gezocht, zodanig dat voor de integraal

${\displaystyle I(y)=\int _{a}^{b}h(x,y)\,{\rm {d}}x}$

geldt dat

${\displaystyle I=I(y_{0})}$

en de afgeleide

${\displaystyle I'(y)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}y}}\int _{a}^{b}h(x,y)\,{\rm {d}}x=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial y}}h(x,y)\,{\rm {d}}x}$

te bepalen is, evenals de integraal

${\displaystyle \int I'(y)\,{\rm {d}}y}$ .

Daarbij dient geverifieerd te worden dat differentiëren en integreren verwisseld mogen worden.

De integraal

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,{\rm {d}}x}$

is niet met de gebruikelijke methoden te bepalen.

Neem

${\displaystyle h(x,y)={\frac {\sin(x)}{x}}e^{-xy}}$ ,

dus

${\displaystyle I(y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}e^{-xy}\,{\rm {d}}x}$

en

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}y}}I(y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\partial }{\partial y}}e^{-xy}\,{\rm {d}}x=-\int _{0}^{\infty }\sin(x)e^{-xy}\,{\rm {d}}x}$

Met behulp van partiële integratie volgt:

${\displaystyle I'(y)={\frac {e^{-xy}(\cos(x)+y\sin(x))}{1+y^{2}}}{\Bigg |}_{0}^{\infty }=-{\frac {1}{1+y^{2}}}}$ ,

zodat

${\displaystyle I(y)=-\arctan(y)+C}$ .

De integratieconstanten ${\displaystyle C}$ volgt uit de eis dat ${\displaystyle 0=I(\infty )=-\pi /2+C}$ .

Aangezien ${\displaystyle I=I(0)=}$ volgt:

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,{\rm {d}}x=I(0)={\frac {\pi }{2}}.}$

Dat differentiëren en integreren verwisseld mogen worden, volgt uit de afschatting:

${\displaystyle {\Bigg |}{\frac {\sin(x)}{x}}e^{-xy}{\Bigg |}\leq e^{-xy}}$

• Integration: The Feynman way
• Leo Goldmakher: Differentiation under the Integral sign