Deconvolutie

Door er rekening mee te houden dat de afbeelding van een punt een min of meer bekende lichtvlek is, kan men een zuiverder microscoopbeeld berekenen uit het geregistreerde beeld. Zie hiervoor het artikel over de Airy-schijf.

De operatie die de ene functie met de andere versmeert (convolueert) is uit te drukken in een integraal.

${\displaystyle f(t)=(g*h)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )h(t-\tau ){\hbox{d}}\tau }$

In deze formule die ervan uitgaat dat de versmeerde functie ${\displaystyle f}$ die men bijvoorbeeld door meting bepaald heeft, een functie van de tijd is, stelt ${\displaystyle g}$ de functie voor zoals deze er zonder versmering zou uitzien en ${\displaystyle h}$ de versmeringsfunctie.

Ook al zijn ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle h}$ goed bekend, dan nog maakt de integraal het niet eenvoudig de onversmeerde functie ${\displaystyle g}$ te bepalen.

De fouriergetransformeerde ${\displaystyle F}$ van de convolutie ${\displaystyle f}$ van ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle h}$ is het product van de fouriergetransformeerden ${\displaystyle G}$ en ${\displaystyle H}$ van respectievelijk ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle F(\omega )=G(\omega )\cdot H(\omega )}$

Op deze eigenschap berust een eenvoudige deconvolutiemethode:

1. Bepaal de fouriertransformaties ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle H}$ van respectievelijk ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle h}$.
2. Bereken ${\displaystyle G=F/H}$
3. Bepaal ${\displaystyle g}$ uit ${\displaystyle G}$ met de inverse fouriertransformatie

Zolang de functie ${\displaystyle H(\omega )}$ voor geen enkele waarde van ${\displaystyle \omega }$ dicht bij 0 komt, voldoet deze methode in veel gevallen wel. De altijd in een signaal aanwezige ruis wordt er echter door versterkt. Voor veel deconvoluties levert een directe deling door ${\displaystyle H(\omega )}$ echter grote berekingsproblemen op. Een voorbeeld van een methode die dit probleem goeddeels omzeilt is de Van Cittertdeconvolutie.

• Improvement of the LLS and MAP deconvolution algorithms by automatic determination of optimal regularization parameters and pre-filtering of original data