D'Alembertiaan

Als we werken in Planck-eenheden, zodat de lichtsnelheid ${\displaystyle c}$ de numerieke waarde 1 heeft, is de viergradiënt gegeven door

${\displaystyle \partial _{\mu }=\left(\partial _{t},\nabla \right)=\left(\partial _{t},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)}$.

De contravariante viergradiënt bekomt men door contractie met de Minkowski-metriek:

${\displaystyle \partial ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }=\left(\partial _{t},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$

Met behulp van deze twee operatoren kan men dan de d'Alembertiaan definiëren, als volgt:

${\displaystyle \Box :=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta }$

Indien men werkt in SI-eenheden, komt er nog een factor ${\displaystyle c^{2}}$ voor in de noemer van de tijdsafgeleide, zodat:

${\displaystyle \Box :={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$

Uit de bovenstaande definitie is duidelijk dat voor een functie of tensor die niet afhangt van de tijd is de d'Alembertiaan gegeven door (minus) de Laplaciaan, en dus inderdaad een veralgemening is hiervan. Ook is de d'Alembertiaan een Lorentz-covariante uitdrukking is, en dus hangt deze niet af van het inertiaalstelsel van waaruit men de fysische situatie beschrijft. De algemeen-relativistische definitie bekomt men door de viergradiënt te vervangen door een covariante afgeleide:

${\displaystyle \Box =\nabla ^{\mu }\nabla _{\mu }}$

Deze is op zijn beurt diffeomorfisme-invariant, en hangt dus niet af van het gebruikte coördinatensysteem. Dit maakt het een goed gedefinieerd object binnen algemene relativiteitstheorie.

De d'Alembertiaan komt frequent voor in o.a. veldentheorie, waar het optreedt als differentiaaloperator in de bewegingsvergelijking van de meest courante (kwantum)velden.

• Viergradiënt
• Laplaciaan
• Covariante afgeleide
• Speciale relativiteitstheorie

• D'Alembertiaan op de wiskundige encyclopedie Wolfram