Cronbachs alfa

In de klassieke testtheorie wordt de score ${\displaystyle X}$ op een test bepaald als het totaal van de scores ${\displaystyle Y_{i}}$ op ${\displaystyle N}$ afzonderlijke items:

${\displaystyle X=\sum Y_{i}=\sum T_{i}+\sum E_{i}}$

De score ${\displaystyle Y_{i}}$ op item ${\displaystyle i}$ wordt daarin opgevat als de som van de true score ${\displaystyle T_{i}}$ en een storingsterm, de error score, ${\displaystyle E_{i}}$:

${\displaystyle Y_{i}=T_{i}+E_{i}}$

daarin zijn de true score en de error score ongecorreleerd, en ook worden de error scores van de verschillende items als ongecorreleerd beschouwd. Bovendien is de verwachte error score 0:

${\displaystyle E(E_{i})=0}$

De variantie van de totale score kan uiteengelegd worden in:

${\displaystyle \mathrm {var} (X)=\mathrm {var} (\sum Y_{i})=\sum \mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})+\sum \mathrm {var} (Y_{i})=\sum \mathrm {cov} (T_{i},T_{j})+\sum \mathrm {var} (T_{i})+\sum \mathrm {var} (E_{i})}$

De onbetrouwbaarheid in de testscore vindt z'n oorzaak in de varianties van de true scores en de error scores. Daarom kan de betrouwbaarheid worden afgemeten aan:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {var} (X)-\sum \mathrm {var} (T_{i})-\sum \mathrm {var} (E_{i})}{\mathrm {var} (X)}}={\frac {\sum \mathrm {cov} (T_{i},T_{j})}{\mathrm {var} (X)}}={\frac {\mathrm {var} (X)-\sum \mathrm {var} (Y_{i})}{\mathrm {var} (X)}}=1-{\frac {\sum \mathrm {var} (Y_{i})}{\mathrm {var} (X)}}}$

Deze parameter is maximaal gelijk aan ${\displaystyle (N-1)/N}$. Zie ter illustratie Voorbeeld 1. Ter normering wordt de betrouwbaarheid daarom gedefinieerd als:

${\displaystyle {\frac {N}{N-1}}\left(1-{\frac {\sum \mathrm {var} (Y_{i})}{\mathrm {var} (X)}}\right)}$

De waarde van de betrouwbaarheid is maximaal 1 en naar beneden onbegrensd. Het is deze parameter waarvan Cronbachs ${\displaystyle \alpha }$ een schatting geeft.

${\displaystyle \alpha ={\frac {N}{N-1}}\left(1-{\frac {\sum _{i=1}^{N}S_{Y_{i}}^{2}}{S_{X}^{2}}}\right)}$,

daarin stellen de verschillende ${\displaystyle S^{2}}$ respectievelijk de steekproefvarianties voor van de totale score ${\displaystyle X}$ en de scores op de items ${\displaystyle Y_{i}}$.

Als ${\displaystyle Y_{ik}}$ de score is van testpersoon ${\displaystyle k}$ op item ${\displaystyle i}$ en er zijn ${\displaystyle m}$ testpersonen, dan zijn de benodigde formules:

${\displaystyle S_{Y_{i}}^{2}={\frac {1}{m-1}}\sum _{k=1}^{m}(Y_{ik}-Y_{i\cdot })^{2},}$

waarin

${\displaystyle Y_{i\,\cdot }={\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}Y_{ik}}$

de gemiddelde score op item ${\displaystyle i}$ is, en

${\displaystyle S_{X}^{2}={\frac {1}{m-1}}\sum _{k=1}^{m}(X_{k}-{\bar {X}})^{2},}$

waarin

${\displaystyle X_{k}=\sum _{i=1}^{N}Y_{ik}}$

de testscore van testpersoon ${\displaystyle k}$ is.

Een eenvoudig getallenvoorbeeld demonstreert de berekeningen. In de tabel staan van 3 items (N=3) de itemscores y van 5 (m=5) testpersonen en als rijsom de testscores x.

item	1	2	3	rijsom
	itemscore			testscore
testpersoon	y1	y2	y3	x
1	4	3	5	12
2	2	0	3	5
3	1	1	2	4
4	3	2	4	9
5	4	2	3	9
variantie				10.70
variantie	1.7	1.3	1.3	4.30

In de onderste rijen staat de variantie ${\displaystyle S_{X}^{2}=10{,}70}$ van de 5 testscores en de 3 varianties ${\displaystyle S_{i}^{2}}$ van de itemscores met hun totaal ${\displaystyle \sum S_{i}^{2}=4{,}30}$. Voor α berekenen we dan:

${\displaystyle \alpha ={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {4{,}30}{10{,}70}}\right)=0{,}90.}$

Als de items gestandaardiseerd zijn, dat wil zeggen met variantie 1, kan de betrouwbaarheid geschreven worden als:

${\displaystyle {\frac {N}{N-1}}{\frac {\sum \mathrm {cov} (T_{i},T_{j})}{\mathrm {var} (X)}}={\frac {N}{N-1}}{\frac {\sum \rho (T_{i},T_{j})}{N+\sum \rho (T_{i},T_{j})}}={\frac {N}{N-1}}{\frac {N(N-1){\bar {\rho }}}{N+N(N-1){\bar {\rho }}}}={\frac {N\cdot {\bar {\rho }}}{1+(N-1)\cdot {\bar {\rho }}}}.\,}$

Als schatter kan dan gebruikt worden:

${\displaystyle \alpha ={\frac {N\cdot {\bar {r}}}{1+(N-1)\cdot {\bar {r}}}}}$

Hierin staat ${\displaystyle {\bar {r}}}$ voor de gemiddelde onderlinge steekproefcorrelatie tussen de items.

Cronbachs α kan in verschillende fasen van een onderzoek gebruikt worden.