Bisectie
Bisectie (uit het Latijn: 'in tweeën snijden') of binair zoeken is een methode om een bepaalde waarde in een verzameling te vinden door de af te zoeken ruimte steeds te halveren.
De methode werkt alleen als snel kan worden vastgesteld of de gezochte waarde zich in de ene of in de andere halfruimte bevindt. In de praktijk betekent dat meestal dat de verzameling gesorteerd moet zijn.
Voorbeeld
Neem een gesorteerde getallenrij A en een gezochte waarde b. Neem een waarde a uit A, halverwege de lengte van de rij. Als b kleiner is dan a moet b in het linkerdeel van A gezocht worden, anders in het rechterdeel. Dat deel wordt dan weer behandels net zoals A en zo verder tot ook b gevonden is (of, als b niet in A voorkomt, een getal dat daar zo dicht mogelijk bij in de buurt ligt).
Recursieve implementatie in C++
Het volgende fragment van een C++-programma implementeert een recursief bisectie-algoritme:
#include <iostream>
using namespace std;
bool binair_zoeken_rec(int* waarden, int zoek, int l, int r){
if(l==r){
// binair zoeken beperkt zich tot 1 cel, plaats waar het gezochte element verwacht wordt.
return waarden[l] == zoek;
}else{
// bepaal het midden tussen de linkse (l) en rechtse (r) grens
int m = (l+r)/2; // deling van 2 integers blijft int, naar beneden afgerond: 7/2 = 3
if(waarden[m] < zoek){
// zoek in het rechterdeel verder [m+1 , r]
return binair_zoeken_rec(waarden, zoek, m+1,r);
}else{
// zoek in het linkerdeel verder [l, m]
return binair_zoeken_rec(waarden, zoek, l, m);
}
}
}
bool binair_zoeken(int* waarden, int aant, int zoek){
// start de recursie op, met:
// l: linker grens van onze tabel = 0
// r: rechter grens van onze tabel = aantal elementen -1
// zoek: de gezochte waarde
return binair_zoeken_rec(waarden, zoek, 0, aant-1);
}
int main(int argc, const char * argv[]){
int waarden[] = {9,13,17,19,25,26,29,40};
// zoek aanwezige waarde op, bijvoorbeeld 13
cout << (binair_zoeken(waarden, 8, 13) ? "aanwezig" : "afwezig") << endl;
// zoek afwezige waarde op, bijvoorbeeld 16
cout << (binair_zoeken(waarden, 8, 16) ? "aanwezig" : "afwezig") << endl;
}
Lineaire implementatie in C++
Het volgende fragment implementeert een lineair bisectie-algoritme:
bool ArrayList::find(
char* sFind, // gezochte string
char** aStr, // verzameling strings waarin te zoeken
int nNItems, // aantal strings in de verzameling
int* piInsert // te retourneren invoegpositie
){
/* Deze methode gebruikt bisectie: deelt het te doorzoeken stuk
* steeds in tweeën en beoordeelt steeds een zijde
* van het nieuwe snijvlak. */
int iL= 0;
int iR= nNItems;
int nSpan= iR -iL;
bool bSearch= (nSpan > 0);
int iN= iL +nSpan/2;
bool bFound= false;
while (bSearch){
char* sN= aStr[iN];
int nCmp= strcmp(sFind,sN);
if(nCmp > 0){
/* gezochte string zit in of net rechts naast het rechter stuk */
iL= iN;
} else if (nCmp < 0){
/* gezochte string zit in of net links naast het linker stuk */
iR= iN;
} else{
bFound= true;
break;
}
if (nSpan==1){
if(nCmp > 0){
iN= iR;
} else{
iN= iL;
}
break; // niet gevonden; invoegpositie wel
}
nSpan= iR -iL;
iN= iL +nSpan/2;
} // einde zoeklus
*piInsert= iN; // invoegpositie of positie van de gevonden string
return bFound; // indien false: iN is de invoegpositie, anders de positie van de gevonden string
}
Toepassing op wiskundige functies
Laat een monotoon stijgende functie zijn. Om de waarde van bij een gegeven te vinden is nu bisectie te gebruiken om te benaderen.
Het bovenstaande programmafragment zou als voorbeeld kunnen dienen, met de volgende aantekeningen:
char* sFind: de gegeven waarde a;char** aStr: het functievoorschrift;int nNItems:iLeniR, een schatting van het gebied waar x ligt, als drijvende-kommagetallen;- char* sN= aStr[iN]: berekening van een functiewaarde voor een benadering van x;
if (nSpan==1): test of de gewenste nauwkeurigheid is gehaald.
De 'invoegpositie' is nu de benadering, met een fout ter grootte van (iR - iL).
Doelmatigheid
Bij het benaderen van een functiewaarde wordt de fout bij elke stap de helft kleiner, dat wil zeggen dat we één decimaal verkrijgen per (ruim) drie cycli (drie decimalen per 10 cycli). Bij toepassing op discrete waarden zijn 1.000 getallen te doorzoeken in 10 cycli, 1.000.000 in 20 enzovoorts. Het aantal stappen tot de gewenste nauwkeurigheid is met bisectie van tevoren bekend.
Alhoewel bisectie betrouwbaar en eenvoudig is, zijn er methoden die in veel gevallen beter werken, vooral voor de toepassing op wiskundige functies. Zulke methodes maken gebruik van (een schatting van) de richtingscoëfficiënt op of rond het laatst gevonden punt. Bij functies zonder sprongen en knikken wijst die waarde ongeveer in de richting van het gezochte punt, zodat de volgende benadering gemiddeld genomen beter is dan met bisectie het geval zou zijn geweest. Voorbeelden zijn de methode van Newton-Raphson en regula falsi.