Benaderingsstelling van Dirichlet

Voor elk reëel getal ${\displaystyle \alpha }$ en voor elk positief geheel getal ${\displaystyle N}$ zijn er gehele getallen ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$, zodanig dat ${\displaystyle 1\leq q\leq N}$ en

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|\leq {\frac {1}{N+1}}}$

Hieruit volgt, na deling door ${\displaystyle q}$ en er rekening mee houdend dat ${\displaystyle q<N+1}$, dat voor elk reëel getal ${\displaystyle \alpha }$ er oneindig veel paren positieve gehele getallen ${\displaystyle (p,q)}$ bestaan, zodat:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$

De stelling is vooral interessant als ${\displaystyle \alpha }$ irrationaal is, bijvoorbeeld ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$. Stel ${\displaystyle N=10}$. Dan zegt de stelling dat (ten minste) een van de getallen ${\displaystyle {\sqrt {2}},2{\sqrt {2}},\ldots ,10{\sqrt {2}}}$ ten hoogste ${\displaystyle 1/11=0{,}09090909\ldots }$ verschilt van een geheel getal. We vinden inderdaad dat

${\displaystyle \left|5{\sqrt {2}}-7\right|=\left|7{,}07106\ldots -7\right|=0{,}07106\ldots \leq 0{,}090909\ldots }$,

en ${\displaystyle 7/5=1{,}4}$ is een diofantische benadering van ${\displaystyle {\sqrt {2}}=1{,}4142\ldots }$ met een fout die kleiner is dan ${\displaystyle 1/25}$.

De Stelling van Hurwitz uit de getaltheorie is een sterkere versie van de benaderingsstelling van Dirichlet, maar enkel voor irrationale getallen. Die stelling zegt dat er dan oneindig veel paren ${\displaystyle (p,q)}$ bestaan waarvoor:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\cdot q^{2}}}}$

In het bovenstaande voorbeeld zien we inderdaad dat de fout van de benadering, ${\displaystyle 1{,}4142\ldots -1{,}4=0,0142\ldots }$, kleiner is dan ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\cdot 5^{2}}}=0,01788\ldots }$