Reproductiegetal

De waarde van R₀ kan bepaald worden op basis van een aantal demografische gegevens en gegevens die specifiek gelden voor de infectie:

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta N}{\delta }}=\beta ND}$

hierbij is

${\displaystyle \beta }$ de besmettingskans per contact

${\displaystyle N}$ het gemiddeld aantal contacten per tijdseenheid

δ de genezingssnelheid

D de infectieduur (δ = 1/D)

en ${\displaystyle R_{0}}$ een dimensieloos getal.

Hoe groter R₀ des te sneller neemt het aantal geïnfecteerde mensen toe, en des te moeilijker zal de infectie onder controle te krijgen zijn. De proportie van de populatie die gevaccineerd zal moeten worden om de toestand van groepsimmuniteit te verkrijgen (en zo de verspreiding te stoppen) wordt gegeven door: 1-(1/R₀) (zie afleiding hieronder).

Het effectief reproductiegetal R_eff ligt lager omdat men er bijvoorbeeld rekening mee houdt dat een gedeelte van de bevolking immuun is:

${\displaystyle R_{\text{eff}}={\frac {\beta S}{\delta }}=R_{0}\times {\frac {S}{N}}}$

hierbij is:

S de susceptibiliteit, het aantal voor de ziekte vatbare mensen.

Als R_eff kleiner is dan 1 zal de infectie verdwijnen uit de populatie, maar als R_eff groter is dan 1 dan kan ze uitgroeien tot een epidemie. Als R_eff gelijk is aan 1 blijft het aantal besmette personen in theorie gelijk.

Oorspronkelijk is de term reproductiegetal afkomstig uit de demografie: Als R₀ kleiner is dan 1 zal de bevolking krimpen, maar als R₀ groter is dan 1 zal ze aangroeien.

Voor de minimale vaccinatiegraad die nodig is gelden volgende vergelijkingen:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-\lambda (t)S(t)}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\lambda (t)S(t)-\delta I(t)>0}$

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\delta I(t)}$

hierbij is:

I het aantal geïnfecteerde personen R (recovered) het aantal herstelde personen; niet te verwarren met R₀ en R_eff

In dit model zal I enkel toenemen als de tweede vergelijking groter is dan 0. (De wiskundig afgeleide van de curve heeft een positieve helling of richtingscoëfficiënt.) We veronderstellen een constante infectiekracht: λ(t)=λ, dan volgt:

${\displaystyle \lambda S(t)-\delta I(t)>0}$ of ${\displaystyle \beta I(t)S(t)-\delta I(t)>0}$,

want de infectiekracht λ is gelijk aan de transmissiecoëfficiënt β maal I. Als I niet gelijk is aan nul, betekent dat:

${\displaystyle \beta S(t)-\delta >0}$ of ${\displaystyle \beta S(t)>\delta }$ of ${\displaystyle S(t)>{\frac {\delta }{\beta }}}$.

Door beide leden te delen door N:

${\displaystyle {\frac {S(t)}{N}}>{\frac {\delta }{\beta N}}}$.

Aangezien R₀ = βS₀/δ = βS₀D (N ≈S(0)):

${\displaystyle s*={\frac {S(t)}{N}}>{\frac {1}{R_{0}}}}$.

Dit betekent dus dat de proportie niet-gevaccineerden s* in de populatie niet hoger mag zijn dan het omgekeerde van het basisreproductiegetal van die ziekte (in die situatie); anders zal een epidemie optreden. Zo kan de minimale vaccinatiegraad p_c aangeduid worden:

${\displaystyle s*=1-p_{c}={\frac {1}{R_{0}}}}$ of ${\displaystyle p_{c}=1-{\frac {1}{R_{0}}}}$

Als we nu ook nog meerekenen dat de vaccinatie-efficiëntie niet altijd 100% is, dan is de te vacineren proportie pv:

${\displaystyle p_{c}={\frac {1-{\frac {1}{R_{0}}}}{VE}}}$

Als er met verschillende leeftijdsklassen gerekend wordt, bestaat de next generation matrix uit alle R₀ voor alle combinaties van leeftijdsklassen: ${\displaystyle R_{0ij}=\beta _{ij}N_{i}D{\frac {}{}}}$

Voor vier leeftijdsklassen ziet hij er zo uit: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\beta _{11}N_{1}D&\beta _{12}N_{2}D&\beta _{13}N_{3}D&\beta _{14}N_{4}D\\\beta _{21}N_{1}D&\beta _{22}N_{2}D&\beta _{23}N_{3}D&\beta _{24}N_{4}D\\\beta _{31}N_{1}D&\beta _{32}N_{2}D&\beta _{33}N_{3}D&\beta _{34}N_{4}D\\\beta _{41}N_{1}D&\beta _{42}N_{2}D&\beta _{43}N_{3}D&\beta _{44}N_{4}D\end{bmatrix}}}$

Deze matrix kan berekend worden door vermenigvuldiging van de WAIFW-matrix met ND.

${\displaystyle R_{0}={\frac {\ln {\frac {S(0)}{S(e)}}}{1-s_{e}}}}$

• (en) James Holland Jones, Notes on R0, 1 mei 2007