Alternatieve algebra

Alternatieve algebra's worden zo genoemd omdat ze precies de algebra's zijn waarvoor de associator alternatief is. De associator is een trilineaire mapping die wordt gegeven door

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)\,}$

Per definitie is een multilineaire mapping alternatief als de mapping verdwijnt wanneer twee van zijn argumenten gelijk zijn. De linker- en rechteridentiteiten van een algebra zijn gelijkwaardig met

${\displaystyle [x,x,y]=0\,}$

${\displaystyle [y,x,x]=0\,.}$

Deze twee identities impliceren samen dat de associator totaal scheef-symmetrisch is. Dat is,

${\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]\,}$

voor enige permutatie σ. Hieruit volgt dat

${\displaystyle [x,y,x]=0\,}$

voor alle x and y. Dit is equivalent aan de zogenoemde flexibele identiteit

${\displaystyle (xy)x=x(yx)\,.}$

De associator is daarom alternerende. Omgekeerd is enige algebra waar de associator alterneert duidelijk alternatief. Door symmetrie is enige algebra die voldoet aan een van de twee onderstaande condities:

• links alternatieve identiteit: ${\displaystyle x(xy)=(xx)y\,}$
• rechts alternatieve identiteit: ${\displaystyle (yx)x=y(xx)\,}$
• flexibele identiteit: ${\displaystyle (xy)x=x(yx)\,.}$

alternatief en voldoet daarom aan alle identiteiten.

Een alternerende associator is altijd totaal scheef-symmetrisch. Het omgekeerde geldt zo lang als de karakteristiek van het basisveld ongelijk is aan 2.