Algoritme van Bellman-Ford

De invoer van het algoritme bestaat uit een gewogen graaf, gegeven door

• een verzameling knopen ${\displaystyle V}$ (van het Engelse vertices),
• een verzameling zijden ${\displaystyle E\subseteq V\times V}$ (van het Engelse edges), en
• een afbeelding ${\displaystyle {\mathit {gewicht}}\colon E\to \mathbb {Z} }$ die aan elke zijde een gewicht toekent,

en uit een startknoop ${\displaystyle s\in V}$.

Het algoritme bepaalt de kortste paden van ${\displaystyle s}$ naar de andere knopen.

In het onderstaande algoritme is:

• ${\displaystyle n}$ het aantal knopen in de verzameling ${\displaystyle V}$,
• ${\displaystyle {\mathit {afstand}}\colon V\to \mathbb {Z} \cup \infty }$ een afbeelding die aan elke knoop een afstand toekent, en
• ${\displaystyle {\mathit {voorganger}}\colon V\to V}$ een afbeelding die aan elke knoop een voorganger toekent.

De afbeeldingen ${\displaystyle {\mathit {afstand}}}$ en ${\displaystyle {\mathit {voorganger}}}$ worden tijdens het uitvoeren van het algoritme opgebouwd.

 01  voor elke ${\displaystyle \scriptstyle v\in V}$               
 02      ${\displaystyle \scriptstyle {\mathit {afstand}}(v):=\infty }$, ${\displaystyle \scriptstyle {\mathit {voorganger}}(v):={\text{geen}}}$
 03  ${\displaystyle \scriptstyle {\mathit {afstand}}(s):=0}$
 
 04  herhaal ${\displaystyle \scriptstyle n-1}$ keer              
 05      voor elke ${\displaystyle \scriptstyle (u,v)\in E}$
 06          als ${\displaystyle \scriptstyle {\mathit {afstand}}(u)+{\mathit {gewicht}}(u,v)\ <\ {\mathit {afstand}}(v)}$ dan
 07              ${\displaystyle \scriptstyle {\mathit {afstand}}(v):={\mathit {afstand}}(u)+{\mathit {gewicht}}(u,v)}$
 08              ${\displaystyle \scriptstyle {\mathit {voorganger}}(v):=u}$
   
 09  voor elke ${\displaystyle \scriptstyle (u,v)\in E}$        
 10      als ${\displaystyle \scriptstyle {\mathit {afstand}}(u)+{\mathit {gewicht}}(u,v)\ <\ {\mathit {afstand}}(v)}$ dan
 11      STOP met uitkomst "Er is een negatieve cirkel"
 
 13  uitkomst ${\displaystyle \scriptstyle {\mathit {afstand}}}$ en ${\displaystyle \scriptstyle {\mathit {voorganger}}}$

Als het algoritme klaar is (en er geen cirkel met negatieve lengte gevonden werd), levert ${\displaystyle {\mathit {afstand}}}$ voor elke knoop de kortste afstand van ${\displaystyle s}$ naar die knoop, en kunnen met behulp van ${\displaystyle {\mathit {voorganger}}}$ de kortste routes worden bepaald.

In plaats van gehele getallen (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) kunnen ook andere soorten getallen als gewichten worden gebruikt, bijvoorbeeld rationale getallen (${\displaystyle \mathbb {Q} }$).