Aannemelijkheidsfunctie

Als ${\displaystyle \{p_{\theta }\}}$ een familie kansfuncties is met parameter ${\displaystyle \theta ,}$ en uit een van deze verdelingen is een steekproef met uitkomst ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ getrokken, dan heet de functie ${\displaystyle L,}$ gedefinieerd door:

${\displaystyle L(\theta )=L(\theta |x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=p_{\theta }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

de aannemelijkheidsfunctie van ${\displaystyle \theta }$.

Als ${\displaystyle \{f_{\theta }\}}$ een familie kansdichtheden is met parameter ${\displaystyle \theta }$, en uit een van deze verdelingen is een steekproef met uitkomst ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ getrokken, dan heet de functie ${\displaystyle L,}$ gedefinieerd door:

${\displaystyle L(\theta )=L(\theta |x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f_{\theta }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

de aannemelijkheidsfunctie van ${\displaystyle \theta }$.

Uit een binomiale verdeling met parameter ${\displaystyle n=10}$ en onbekende succeskans ${\displaystyle p}$ is een waarneming ${\displaystyle x}$ gedaan. De aannemelijkheidsfunctie van ${\displaystyle p}$ is:

${\displaystyle L(p)={\tbinom {10}{x}}p^{x}(1-p)^{10-x}}$

De aannemelijkheidsfunctie is maximaal voor ${\displaystyle p=x/10}$; deze waarde van ${\displaystyle p}$ heet de meest aannemelijke waarde (schatting).

Uit een normale verdeling met onbekende verwachtingswaarde ${\displaystyle \mu }$ en standaardafwijking ${\displaystyle \sigma }$ is een aselecte steekproef ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{100}}$ van omvang 100 getrokken. De aannemelijkheidsfunctie van het paar ${\displaystyle (\mu ,\sigma )}$ is:

${\displaystyle L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{100}\varphi (\mu +\sigma x_{i}),}$

waarin ${\displaystyle \varphi }$ de kansdichtheid van de standaardnormale verdeling is.