Een werkwijze

Als de punten P en Q tot de rechte behoren dan is PQ een richingsvector van die rechte. We berekenen twee punten van de rechte. Voor z=0 vinden we het punt P(10/11,-7/11,0). Voor x=0 vinden we het punt Q(0,-23/29,10/29). De vector PQ(-10/11,-50/319,10/29) is een richtingsvector. Maar elk van nul verschillend veelvoud van die vector is ook een richtingsvector. We kunnen dus een 'eenvoudig' veelvoud v kiezen van PQ. De richting van de rechte kan aangeduid worden met de vector v(29,5,-11).

Een tweede werkwijze

De gegeven rechte is eigenlijk de snijlijn van 2 vlakken : 3x -2 y + 7z - 4 = 0 en 2x - 5y + 3z - 5 = 0

De richting van die snijlijn is de richting loodrecht op beide normaalvectoren van de vlakken. Het kruisproduct van de normaalvectoren a(3,-2,7) en b(2,-5,3) is de vector c(29,5,-11) en dit is een richtingsvector van de gegeven rechte.

Een werkwijze

We beschikken reeds over een steunvector P(1,4,5) van de gevraagde lijn. De richting van die lijn is de richting van een normaalvector van het gegeven vlak. Die richting is juist de richting van het kruisproduct van de twee richtingsvectoren u(1,1,2) en v(3,2,1) van het vlak.
Nu is u x v gelijk aan een vector w(-3,5,-1). De gevraagde lijn is

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\4\\5\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}-3\\5\\-1\end{bmatrix}}}$

Een werkwijze

De coördinaten van normaalvectoren van de twee vlakken zijn respectievelijk (2,3,1) en (1,-1,-1). Daar die vectoren een verschillende richting aanwijzen zijn de vlakken niet evenwijdig. Het zijn snijdende vlakken. Noem de snijlijn s.

Lijn door P evenwijdig met twee vlakken

Als we nu door punt P een vlak aanbrengen evenwijdig met α en een vlak evenwijdig met β dan zal de snijlijn van die vlakken evenwijdig zijn met s en door P gaan. Die lijn is dan de gevraagde lijn.

Alle vlakken evenwijdig met α hebben een vergelijking van de vorm 2 x + 3 y + z + h = 0. Dit vlak gaat door P als h = -1. Het vlak is 2 x + 3 y + z -1 = 0.

Alle vlakken evenwijdig met β hebben een vergelijking van de vorm x - y - z + h = 0. Dit vlak gaat door P als h = 0. Het vlak is x - y - z = 0

De gevraagde snijlijn is de lijn met vergelijkingen

${\displaystyle \left\{{\begin{alignedat}{3}2x+3y+z-1&&\;=\;&&0&\\x-y-z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}\right.}$

Een tweede werkwijze

De coördinaten van normaalvectoren van de twee vlakken zijn respectievelijk (2,3,1) en (1,-1,-1). Daar die vectoren een verschillende richting aanwijzen zijn de vlakken niet evenwijdig. Het zijn snijdende vlakken.

Een normaalvector van een vlak staat loodrecht op alle rechten van het vlak. Dus elke vector loodrecht op de normaalvector van een vlak is evenwijdig met het vlak. Het kruisproduct van de normaalvectoren van de twee vlakken is evenwijdig met de twee vlakken en daardoor ook evenwijdig met de snijlijn van de twee vlakken. Die vector is een richtingsvector van de gevraagde lijn.

De twee normaalvectoren hebben coördinaten (2,3,1) en (1,-1,-1). Het kruisproduct is een vector met coördinaten (-2,3,-5). De gevraagde rechte heeft dan vectorvergelijking

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}-2\\3\\-5\end{bmatrix}}}$

Het is nu een bijkomende oefening om aan te tonen dat deze rechte dezelfde is als deze gevonden met de vorige methode.

Een werkwijze

Denkwijze:

lijn m door punt A, evenwijdig met vlak α en steunend op lijn l

Elke lijn door punt A en evenwijdig met vlak α, ligt in een vlak β door A evenwijdig met vlak α. Als de lijn m bovendien moet steunen op de lijn l, moet die lijn het snijpunt B van l en β bevatten.

Uitwerking:

Daar vlak β evenwijdig is met α, heeft β een vergelijking van de vorm x + y - z + h = 0. Het punt A ligt in dit vlak voor h = -6. Dus de vergelijking van β is x + y - z - 6 = 0

Het snijpunt B(b₁,b₂,b₃) moet op l en in β liggen. We berekenen b₁,b₂ en b₃ uit die dubbele voorwaarde:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}3\\-1\\4\end{bmatrix}}{\mbox{ en }}b_{1}+b_{2}-b_{3}-6=0}$

Na enig gereken vinden we B(-8,5,-9). De vector AB(-9,3,-6) is een richtingsvector van de gezochte lijn m.

De gevraagde lijn m is

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\-3\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}-9\\3\\-6\end{bmatrix}}}$

Een tweede werkwijze

Denkwijze:

We laten een punt B glijden over de lijn l. De veranderlijke lijn AB gaat dan door A en steunt steeds op l. De lijn AB moet bovendien evenwijdig zijn met het gegeven vlak. Daartoe is het voldoende te eisen dat de vector AB en een normaalvector van het vlak α loodrecht op elkaar staan.

Uitwerking:

Als r verandert is B(1+3r,2-r,3+4r) een veranderlijk punt van rechte l.

Dan is de vector AB = AB(3r,-r,6+4r) en een normaalvector op het vlak α is N(1,1,-1).

AB staat loodrecht op N(1,1,-1)

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ AB. N = 0

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ 3r -r-6-4r = 0

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ r = -3

Dus, B is het punt (-8,5,-9). De vector AB(-9,3,-6) is een richtingsvector van de gezochte lijn m. De gevraagde lijn m is

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\-3\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}-9\\3\\-6\end{bmatrix}}}$

Een derde werkwijze

lijn m door punt A, evenwijdig met vlak α en steunend op lijn l

Elke lijn door punt A en evenwijdig met vlak α, ligt in een vlak β door A evenwijdig met vlak α en elke lijn door punt A welke op l steunt ligt in een vlak γ bepaald door A en l. De gevraagde lijn m is de snijlijn van de vlakken β en γ.

Daar vlak β evenwijdig is met α, heeft β een vergelijking van de vorm x + y - z + h = 0. Het punt A ligt in dit vlak voor h = -6. Dus de vergelijking van β is x + y - z - 6 = 0.

Het vlak γ bevat het punt A(1,2,-3) en het punt L(1,2,3) op lijn l. Met die twee punten correspondeert de richtingsvector AL(0,0,6). Dit is dezelfde richting als (0,0,1). De richting van de lijn l geeft ons een tweede richting (3,-1,4). Het vlak γ is dus

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}3\\-1\\4\end{bmatrix}}}$

Na enig gereken vinden we x + 3 y -7 = 0 als cartesische vergelijking van dit vlak γ.

De cartesische vergelijkingen van de lijn m zijn dus

${\displaystyle \left\{{\begin{alignedat}{8}x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;-\;&&6=\;&&0&\\x&&\;+\;&&3y&&\;\;&&&&\;-\;&&7=\;&&0&\end{alignedat}}\right.}$

Een werkwijze

We noemen v de gegeven richtingsvector van a. v(3,2,1). w is de gegeven richingsvector van b. w(1,-1,2).

We laten een punt P glijden over de rechte a en een punt Q over rechte b. Daarna leggen we de voorwaarden op opdat rechte PQ orthogonaal is met a en met b.

Als r en s vloeiend veranderen glijdt P(1+3r,2+2r,1+r) over a en Q((-2 + s, 2 - s, -1 + 2s) over b. De rechte PQ heeft een richtingsvector PQ(-3 + s -3r, -s -2r, -2 + 2s -r)

De vector PQ is orthogonaaal met a als en slechts als het inproduct van PQ en v nul is. Dit geeft een eerste voorwaarde waaraan r en s moeten voldoen. Men vindt : -14 r + 3 s = 11.

De vector PQ is orthogonaaal met b als en slechts als het inproduct van PQ en w nul is. Dit geeft de tweede voorwaarde waaraan r en s moeten voldoen. Men vindt : - 3 r + 6 s = 7.

Uit die twee voorwaarden kunnen we r en s berekenen: r = -3/5 en s = 13/15. Zo vinden we nu P(-4/5, 4/5, 2/5) en Q(-17/15, 17/15, 11/15). De rechte PQ is de gevraagde gemeenschappelijke loodlijn. Ze heeft richting (-1, 1 1). De gemene loodlijn PQ is:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-4/5\\4/5\\2/5\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix}}}$

Bijkomende oefening : Toon aan dat de gegeven rechten kruisen

Een tweede werkwijze

gemeenschappelijke loodlijn van a en b

We maken een gedachtengang naar een oplossing en de berekeningen maken we achteraf.

1. We vertrekken van het vlak β door de rechte b, evenwijdig met a.
2. We berekenen de lijn l door het punt A(1,2,1) van a, loodrecht op β.
3. Door het snijpunt S van l en β berekenen we de lijn a' evenwijdig met a
4. Het snijpunt van a' en b noemen we B.
5. De rechte door B evenwijdig met l is de gevraagde loodlijn.

Stapsgewijs berekenen :

• Vlak β

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2\\2\\-1\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}}}$

en de cartesische vergelijking is

${\displaystyle x-y-z+3=0}$.

• Lijn l

De normaalvector van vlak β geeft ons de richting van l.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}1\\-1\\-1\end{bmatrix}}}$

• Lijn a'
  Een veranderlijk punt van l is L(1 + r, 2 - r, 1 - r). Dit punt ligt in vlak β als r = -1/3 en dan is punt S(2/3, 7/3, 4/3).

De lijn a' is dan

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2/3\\7/3\\4/3\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}}}$

• Snijpunt B van a' en b

De vergelijking van b is

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2\\2\\-1\end{bmatrix}}+t{\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}}}$

In het snijpunt moet

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2/3\\7/3\\4/3\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2\\2\\-1\end{bmatrix}}+t{\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}}}$

Hieruit berekenen we s en t : s = -3/5 ; t = 13/15

Het snijpunt B is (-17/15 , 17/15 , 11/15)

• Gemeenschappelijke loodlijn is de rechte door B evenwijdig met l.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-17/15\\17/15\\11/15\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}1\\-1\\-1\end{bmatrix}}}$

Een derde werkwijze

gemene loodlijn als snijlijn van twee vlakken

We noemen v de gegeven richtingsvector van a. v(3,2,1). w is de gegeven richingsvector van b. w(1,-1,2).

Het kruisproduct van v en w geeft ons een richting die loodrecht staat op de richtingen van beide rechten. v × w = u(5,-5,-5). Dus de richting (-1,1,1) is de richting van de gemeenschappelijke loodlijn.

De gemeenschappelijke loodlijn steunt op de rechte a en heeft de richting van u. Het vlak door de rechte a en met richting u bevat dus die gemene loodlijn. Dit vlak heeft vergelijking ${\displaystyle x-4y+5z+2=0}$.

De gemeenschappelijke loodlijn steunt op de rechte b en heeft de richting van u. Het vlak door de rechte b en met richting u bevat ook die gemene loodlijn. Dit vlak heeft vergelijking ${\displaystyle x+y=0}$.

De gemene loodlijn is de snijlijn van de twee gevonden vlakken en heeft cartesische vergelijkingen

${\displaystyle \left\{{\begin{alignedat}{3}x-4y+5z+2&&\;=\;&&0&\\x+y&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}\right.}$

Een werkwijze

Elke vergelijking afzonderlijk is een vergelijking van een vlak. Als de vlakken niet snijden stelt het stel vergelijkingen geen rechte voor.

De vlakken zijn evenwijdig

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ De normaalvector van het ene vlak is veelvoud van de normaalvector van het andere vlak

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Er bestaat een getal r zodat

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m\\m-1\\1\end{bmatrix}}=r{\begin{bmatrix}2m\\m+1\\m-1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left\{{\begin{alignedat}{3}m&&\;=\;&&2rm&\\m-1&&\;=\;&&r(m+1)&\\1&&\;=\;&&r(m-1)&\end{alignedat}}\right.}$

Dit stelsel heeft twee oplossingen:

${\displaystyle m=0{\mbox{ (voor r = -1) }}}$

${\displaystyle m=3{\mbox{ (voor r = 1/2) }}}$

Voor deze twee waarden van m stelt het gegeven stel vergelijkingen geen rechte voor.

Een werkwijze

De scherpe hoek t tussen twee vlakken is gelijk aan de scherpe hoek tussen normaalvectoren van de vlakken.

N(1,1,1) is een normaalvector van het eerste vlak.
M(1,2,3) is een normaalvector van het tweede vlak.
Via het inproduct kunnen we de hoek berekenen.

${\displaystyle cos(t)=(\mathbf {M} \cdot \mathbf {N} )/(||\mathbf {M} ||\cdot ||\mathbf {N} ||)=0.925}$

De scherpe hoek tussen M en N is 22.2 graden.
De hoek tussen de twee vlakken is 22.2 graden.

Een methode

Een richtingsvector van m vinden we door het kruisproduct te vormen van de vectoren (2,r,0) en (1,0,3) (zie een vorig vraagstuk). We vinden (3r, 6, -r).

Een richtingsvector van n vinden we door het kruisproduct te vormen van de vectoren (1,1,r) en (1,-2,0). We vinden (2r, r, -3).

De twee rechten m en n zijn orthogonaal als het scalair product van hun richtingsvectoren nul is. Die voorwaarde is

${\displaystyle 6r^{2}+6r+3r=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow r=0{\mbox{ of }}r=-3/2}$

Een werkwijze

We berekenen eerst de oppervlakte van driehoek ABC met de formule van Heron.

${\displaystyle c=|AB|={\sqrt {14}}\;\;;\;\;b=|AC|={\sqrt {41}}\;\;;\;\;a=|BC|=3}$

De halve omtrek van de driehoek is s = 6.57
De oppervlakte is dan

${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}=3.354}$

De hoogte van de piramide is de afstand van T tot vlak ABC. De vergelijking van vlak ABC is 4x - 5y + 2z = 0. De afstand van T tot dit vlak is

${\displaystyle {\frac {|4\cdot 2-5\cdot 5+2\cdot 8|}{\sqrt {45}}}=1/{\sqrt {45}}}$

Het volume van de piramide is dan 0.1666

Voorbeeld

We vertrekken van twee vlakken 2 x - y + 2 z + 5 = 0 en x - 2 y - 2 z - 3 = 0.

${\displaystyle P(x,y,z){\mbox{ ligt evenver van de gegeven vlakken }}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {|2x-y+2z+5|}{\sqrt {4+1+4}}}={\frac {|x-2y-2z-3|}{\sqrt {1+4+4}}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow |2x-y+2z+5|=|x-2y-2z-3|}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2x-y+2z+5=\pm (x-2y-2z-3)}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x+y+4z+8=0{\mbox{ of }}3x-3y+2=0}$

De twee gevonden vlakken zijn de bissectice-vlakken van de gegeven snijdende vlakken.

Een werkwijze

afstand van punt P tot lijn d

• Door P brengen we een vlak α loodrecht op de lijn d. Een richtingsvector van d is dan een normaalvector van het vlak α. Het vlak α heeft dus een vergelijking van de vorm x + 2y + z + k = 0. Maar vlak α moet punt P bevatten. De voorwaarde daartoe geeft ons k = -4. Het vlak α is dus x + 2y + z - 4 = 0.

• We berekenen het snijpunt S van het gevonden vlak met de lijn d. We bepalen het getal r zodat een variabel punt S(2+r, 3+2r, 1+r) van d in het vlak α ligt. We vinden r = -5/6. Het punt S is S(7/6, 8/6, 1/6).

• De gevraagde afstand is |PS|. |PS| = ||PS|| ${\displaystyle =\cdots ={\sqrt {5/6}}}$.

Een tweede werkwijze

• Uit de gegevens volgt dat het punt D(2,3,1) op de lijn d ligt.
• We nemen een variabel punt S(2+r, 3+2r, 1+r) op de lijn d en we bepalen r zodanig dat de vectoren DS(r, 2r, r) en PS(1+r, 2+2r, r) orthogonaal zijn. Het scalair product moet 0 zijn. Dus moet r(1+r)+2r(2+2r)+r2 = 0. Daar S niet D is, vinden we r = -5/6. Het punt S is S(7/6, 8/6, 1/6).
• De gevraagde afstand is |PS|. |PS| = ||PS|| ${\displaystyle =\cdots ={\sqrt {5/6}}}$.

Een derde werkwijze

• Door P brengen we een vlak α loodrecht op de lijn d. Een richtingsvector van d is dan een normaalvector van het vlak α. Het vlak α heeft dus een vergelijking van de vorm x + 2y + z + k = 0. Maar vlak α moet punt P bevatten. De voorwaarde daartoe geeft ons k = -4. Het vlak α is dus x + 2y + z - 4 = 0.

• Uit de gegevens volgt dat punt D(2,3,1) op d ligt en noem S het snijpunt van d en het vlak. De afstand van D tot het vlak is

${\displaystyle {\frac {|2+6+1-4|}{\sqrt {6}}}={\frac {5}{\sqrt {6}}}=|DS|}$

• In de rechthoekige driehoek DPS geldt nu |DP| = ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ . Daar we |DS| kennen, kunnen we met pythagoras |PS| berekenen. |PS| = ${\displaystyle \cdots ={\sqrt {5/6}}}$.

Een werkwijze

Afstand tussen twee lijnen

We berekenen de afstand van een punt van de eerste lijn tot het vlak door de tweede lijn evenwijdig aan de eerste.

• We nemen op de lijn a het punt A(1,0,1)
• We nemen het vlak door lijn b evenwijdig met rechte a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\-2\\0\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}}}$

• De cartesische vergelijking van dit vlak is x - y - 2 = 0
• We berekenen nu de afstand van punt A tot dit vlak. Met de formule voor afstand van een punt naar een vlak vindt men ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$. Dit is de afstand tussen de twee gegeven lijnen.

Een werkwijze

We omvormen de vergelijkingen van de lijnen van cartesisch naar vectorieel. Op de lijn a kiezen we twee punten (3,0,0) en (0,3/2,3/2). We nemen A(3,0,0) als steunvector en v(2,-1,-1) als richtingsvector. De vectoriële vergelijking van a is dan

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\0\\0\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}2\\-1\\-1\end{bmatrix}}}$

Op de lijn b kiezen we twee punten (0,1,0) en (2,1,2). We nemen B(0,1,0) als steunvector en w(2,0,2) als richtingsvector. De vectoriële vergelijking van b is dan

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}2\\0\\2\end{bmatrix}}}$

De richtingen aangeduid door de twee richtingsvectoren zijn verschillend. Dus de twee lijnen zijn niet evenwijdig. We onderzoeken nu of er een snijpunt is.

Als er een snijpunt is dan moet er een r en s bestaan zodat

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3\\0\\0\end{bmatrix}}+r{\begin{bmatrix}2\\-1\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}+s{\begin{bmatrix}2\\0\\2\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow r{\begin{bmatrix}2\\-1\\-1\end{bmatrix}}-s{\begin{bmatrix}2\\0\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-3\\1\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \left\{{\begin{alignedat}{3}2r-2s&&\;=\;&&-3&\\-r&&\;=\;&&1&\\-r-2s&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}\right.}$

Dit stelsel heeft een oplossing r = -1 en s = 1/2. Dus de lijnen zijn snijdend. Het snijpunt is punt S(1,1,1).