< Sterkteleer

Toegepaste Mechanica 1

Sterkteleer

Modules

1. Inleiding
2. Evenwichtsvergelijkingen - inwendige en uitwendige krachten
3. Bepaling van de snedekrachten
4. Basisbegrippen I: Spanningen - Vervormingen - Rek - Glijding
5. Basisbegrippen II: Wet van Hooke - Vervormingsenergie
6. Axiale trek en druk I
7. Axiale trek en druk II
8. Wringing I

Overzicht belangrijkste formules

Formularium, inclusief verwijzigingen

Oefeningen

Begrippenlijst, inclusief verwijzigingen

Voorbeelden, inclusief uitwerkingen

Oefeningen

Verwijzigingen

Literatuur, geraadpleegde literatuur en externe links

Software

Collegeaantekeningen

Evaluatie/feedback/opmerkingen/vragen/suggesties.

Spanningen - vervormingen - inwendige energie

Spanningen op een willekeurig vlak

{\vec {t}}=T_{s}.{\vec {n}}

waarbij:

${\vec {t}}$ : De spanningsvector op een vlak met willekeurige oriëntatie.
${\vec {n}}$ : De eenheidsvector loodrecht op ditzelfde vlak.
$T_{s}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}$ : De spanningstensor.

Algemeen stelsel van 15 differentiaalvergelijkingen in 15 onbekenden (spanningen, vervormingen en verplaatsingen)

Evenwichtsvergelijkingen in functie van spanning

{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+X=0

{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+Y=0

{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+Z=0

Randvoorwaarden in randpunten bij de evenwichtsvergelijkingen in functie van spanning: ${\overline {X}}=n_{x}.\sigma _{x}+n_{y}.\tau _{yx}+n_{z}.\tau _{zx}$; ${\overline {Y}}=n_{x}.\tau _{xy}+n_{y}.\sigma _{y}+n_{z}.\tau _{zy}$; ${\overline {Z}}=n_{x}.\tau _{xz}+n_{y}.\tau _{yz}+n_{z}.\sigma _{z}$

Geometrische Betrekkingen

\varepsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}

\varepsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}

\varepsilon _{z}={\frac {\partial w}{\partial z}}

\gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}

\gamma _{yz}={\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}

\gamma _{zx}={\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}

Wet van Hooke

(link)
Enkel voor isotrope materialen:

\varepsilon _{x}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})]

\varepsilon _{y}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{z}+\sigma _{x})]

\varepsilon _{z}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})]

\gamma _{xy}={\frac {\tau _{xy}}{G}}

\gamma _{yz}={\frac {\tau _{yz}}{G}}

\gamma _{zx}={\frac {\tau _{zx}}{G}}

Glijdingsmodulus

G={\frac {E}{2(1+\nu )}}

Kubische volumeverandering

\,e={\frac {\Delta V}{V}}=\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z}

kubische volumeverandering bij alzijdige constante trek/druk

\,e={\frac {3\sigma }{E}}(1-2\nu )

Vervormingsenergie per volumeëenheid (Inwendige potentiële energie)

in functie van spanningen: $U={\frac {1}{2E}}(\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2})-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{x}.\sigma _{y}+\sigma _{y}.\sigma _{z}+\sigma _{z}.\sigma _{x})+{\frac {1}{2G}}(\tau _{xy}^{2}+\tau _{yz}^{2}+\tau _{zx}^{2})$
in functie van spanningen en vervormingen: $U={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}.\varepsilon _{x}+\sigma _{y}.\varepsilon _{y}+\sigma _{z}.\varepsilon _{z}+\tau _{xy}.\gamma _{xy}+\tau _{yz}.\gamma _{yz}+\tau _{zx}.\gamma _{zx})$

Axiale trek en druk

Algemene uitdrukkingen

spanning: $\sigma _{x}={\frac {N}{A(x)}}\!$
rek: $\varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}={\frac {N}{E.A(x)}}$; $\varepsilon _{y}=\varepsilon _{z}=-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}=-\nu {\frac {N}{E.A(x)}}$
verlenging

algemene formule (link):

\delta =\int _{0}^{L}\varepsilon _{x}dx=\int _{0}^{L}{\frac {\sigma _{x}}{E}}dx=\int _{0}^{L}{\frac {N(x)}{EA(x)}}dx

constante normaalkracht en constante dwarsdoorsnede:

\delta ={\frac {PL}{EA}}

toepassing: kegelvormige balk (link)

\delta ={\frac {4PL}{E\pi D_{1}D_{2}}}

toepassing: met inrekening eigengewicht (link)

\delta ={\frac {PL}{EA}}+{\frac {\rho gL^{2}}{2E}}={\frac {PL}{EA}}+{\frac {GL}{2EA}}

L_{\text{max}}={\frac {A\cdot {\overline {\sigma }}-P}{\rho gA}}

Lichaam met gelijke sterkte op trek of druk

doorsnede: $A=A_{0}\cdot e^{\frac {\rho gx}{\sigma }}$
verlenging: $\delta ={\frac {\sigma L}{E}}$

Eenvoudige hyperstatische gevallen

Niet homogene dwarsdoorsnede (link)

X_{i}={\frac {E_{i}\cdot A_{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(E_{i}\cdot A_{i})}}\cdot P

Temperatuurspanningen (link)

\sigma =-E\cdot \alpha \cdot \Delta T

Temperatuurspanningen bij niet-homogene dwarsdoorsnede: (link)

X={\frac {(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cdot \Delta T}{{\frac {1}{E_{1}A_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}A_{2}}}}}

Dunwandige cilindrische stukken

spanning - ketelformule: $\sigma ={\frac {q\cdot r}{e}}$
verlenging: $\delta _{o}={\frac {2\pi qr^{2}}{Ee}}$
spanning bij draaiende ring: $\sigma =\rho \omega ^{2}r^{2}\!$

Inwendige vervormingsenergie bij axiale trek of druk

Vervormingsenergie per volume

U={\frac {\sigma ^{2}}{2E}}={\frac {E\varepsilon ^{2}}{2}}

Totale vervormingsenergie

A_{v}=\int _{L}\left[\int _{A}\left({\frac {N(x)}{A}}\right)^{2}{\frac {1}{2E}}dA\right]dx

Totale vervormingsenergie bij constante normaalkracht en dwarsdoorsnede

A_{v}={\frac {N^{2}\cdot L}{2EA}}

Resiliëntie

U_{\mbox{max}}={\frac {R_{e}^{2}}{2E}}

This article is issued from Wikibooks. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.