Lichaam met rechte aslijn

Op de figuur hieronder zien we een prismatisch lichaam met een rechte aslijn, onderworpen aan een trekkracht P, gericht volgens de aslijn en aangrijpend in het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede. In elke doorsnede herleiden de inwendige krachten zich tot één centrische normaalkracht N, die in elke doorsnede gelijk is aan P. De opgewekte spanningstoestand noemt men een toestand van "enkelvoudige trek" of "enkelvoudige druk", naargelang de kracht P een trek- of een drukkracht is.

Bij de bespreking van de materiaalwetten van Hooke werd voor een oneindig lange, rechte staaf met constante dwarsdoorsnede de "wet van het behoud der platte vlakken van dwarsdoorsneden (hypothese van Bernouilli)"afgeleid.

We nemen aan dat:

• De hypothese van Bernouilli ook geldig blijft voor eindige prismatische lichamen met veranderlijke dwarsdoorsnede, zoals op de bovenstaande figuur. Op deze wijze wordt zeker voldaan aan de voorwaarde van de "samenhang van het materiaal".
• De langsvezels van het materiaal elkaar onderling niet beïnvloeden, ondanks de veranderlijke dwarsdoorsnede.

Dit betekent dat er geen normaalspanningen optreden loodrecht op de x-as en dat er geen schuifspanningen optreden :

${\displaystyle \sigma _{y}=\sigma _{z}=0\!}$

${\displaystyle \tau _{xy}=\tau _{yz}=\tau _{zx}=0\!}$

De wet van Hooke wordt in dit geval zeer eenvoudig:

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{y}=\varepsilon _{z}=-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}}$

${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yz}=\gamma _{zx}=0\!}$

Lichaam met gekromde aslijn

We beschouwen een elementair stukje balk langs een gebogen aslijn, waar de kromtestraal gelijk is aan ρ₀. Uit de studie van de inwendige krachten werd de normaalkracht N berekend, loodrecht op de dwarsdoorsnede en aangrijpend op de aslijn (= in het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede), zoals op de figuur hieronder.

We nemen aan dat de hypothese van Bernouilli geldig is. De vervormingen verlopen dan alsof we het rechterzijvlak van het elementaire deeltje met een hoek Δdα laten draaien ten opzichte van het linkerzijvlak.

We bekijken nu de vervorming van de langsvezel QR. Deze vervormt tot Q'R', doordat er enerzijds een langsrek plaatsheeft ten gevolge van de normaalkracht N en anderzijds een dwarscontractie plaatsheeft.

We kunnen de rek van de vezel QR van dit elementaire deeltje als volgt berekenen:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {{\overline {Q'R'}}-{\overline {QR}}}{\overline {QR}}}={\frac {(\rho _{0}+y)(d\alpha +\Delta d\alpha )-(\rho _{0}+y)d\alpha }{(\rho _{0}+y)d\alpha }}={\frac {(\rho _{0}+y)\Delta d\alpha }{(\rho _{0}+y)d\alpha }}={\frac {\Delta d\alpha }{d\alpha }}}$

Hierbij werd de dwarscontractie verwaarloosd ten opzichte van de lengte (ρ₀+y), dit blijft voldoende nauwkeurig indien ρ₀ voldoende groot is ten opzichte van van de dwarscontractie, wat voor reële lichamen (bijna) steeds het geval zal zijn.

We stellen vast dat de rek onafhankelijk is van y (=de positie van de vezel ten opzichte van de aslijn). Bijgevolg is de rek dezelfde voor alle vezels en dus de ganse dwarsdoorsnede. Aangezien de rek in de ganse dwarsdoorsnede dezelfde is, zal ook de spanning σ over de ganse doorsnede dezelfde zijn. Deze spanning moet in evenwicht zijn met de normaalkracht N.

We kunnen voor gekromde lichamen dus dezelfde formules gerbuiken voor de spanning en de rek als voor lichamen met een rechte aslijn:
Spanning:

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {N}{A(x)}}\!}$

Langsrek:

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}={\frac {N}{E.A(x)}}}$

Dwarskrimp:

${\displaystyle \varepsilon _{y}=\varepsilon _{z}=-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}=-\nu {\frac {N}{E.A(x)}}}$

De x-as wordt hier volgens de aslijn genomen, en de y-as en z-as liggen in het vlak van de dwarsdoorsnede, zoals uiteengezet in de paragraaf over de snedekrachten .

Algemeen

In bovenstaande figuur ondergaat in de balk met lengte L de snede met x-coördinaat=0 een verplaatsing u(0) en de snede met x-coördinaat=L een verplaatsing u(L), onder invloed van een axiale kracht P=N.
De normaalspanning σ en rekken ε worden gegeven door de formules uit de vorige paragrafen:

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {N}{A(x)}}\!}$

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}={\frac {N}{E.A(x)}}}$

De verlenging δ is het verschil tussen de verplaatsing u volgens de x-as in de staafuiteinden:

${\displaystyle \delta =u(L)-u(0)=\int _{0}^{L}{\frac {\partial u}{\partial x}}dx=\int _{0}^{L}\varepsilon _{x}dx}$

In functie van de inwerkende normaalkracht N(x) en de staafafmetingen A(x) wordt dit:

${\displaystyle \delta =\int _{0}^{L}\varepsilon _{x}dx=\int _{0}^{L}{\frac {\sigma _{x}}{E}}dx=\int _{0}^{L}{\frac {N(x)}{EA(x)}}dx}$

Bij constante E-modulus is de verlenging gelijk aan de oppervlakte onder het spanningsdiagramma gedeeld door de elasticiteitsmodulus.

Indien de balk over de ganse balklengte aan een constante normaalkracht N=P onderworpen is, en de balk een constante dwarsdoorsnede A heeft, dan wordt δ:

${\displaystyle \delta ={\frac {PL}{EA}}}$

Toepassing: verlenging van een kegelvormige staaf

De kegelvormige stalen staaf in onderstaande figuur heeft een cirkelvormige dwarsdoornede, met uiterste diameters D1 en D2. De staaf is onderworpen aan een trekkracht P.
Volgende gegevens zijn gekend:

Voor de oppervlakte van een cirkel geldt:

${\displaystyle A(x)={\frac {\pi D^{2}}{4}}}$

De spanning in snede x wordt dan gegeven door:

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {N(x)}{A(x)}}={\frac {P}{A(x)}}={\frac {4P}{\pi D^{2}}}}$

De verlenging δ van de staaf kan berekend worden met de formule uit de vorige paragraaf:

${\displaystyle \delta =\int _{0}^{L}{\frac {\sigma _{x}}{E}}dx=\int _{0}^{L}{\frac {4P}{E\pi D^{2}}}dx={\frac {4P}{E\pi }}\int _{0}^{L}{\frac {1}{D^{2}}}dx}$

De integraal rekenen we uit met behulp van de substitutieregel. We kunnen de diameter D uitschrijven in functie van x. De diameter varieert lineair van D1 voor x=0 tot D2 voor x=L.
Voor een willekeurige x wordt de diameter D bepaald door volgende uitdrukking:

${\displaystyle D=D_{1}+(D_{2}-D_{1}){\frac {x}{L}}\Rightarrow dD={\frac {D_{2}-D_{1}}{L}}\,dx\Rightarrow dx={\frac {L}{D_{2}-D_{1}}}\,dD}$

De integraal kan dan als volgt worden uitgerekend:

${\displaystyle \int _{0}^{L}{\frac {1}{D^{2}}}dx={\frac {L}{D_{2}-D_{1}}}\int _{D_{1}}^{D_{2}}{\frac {1}{D^{2}}}dD={\frac {L}{D_{2}-D_{1}}}\left({\frac {1}{D_{1}}}-{\frac {1}{D_{2}}}\right)={\frac {L}{D_{2}-D_{1}}}{\frac {D_{2}-D_{1}}{D_{1}D_{2}}}={\frac {L}{D_{1}D_{2}}}}$

De formule voor de verlenging van deze kegelvormige staaf wordt dus:

${\displaystyle \delta ={\frac {4PL}{E\pi D_{1}D_{2}}}}$

We stellen vast dat:

• Als de diameter constant is (D1=D2=D), vinden we terug de formule voor de verlenging van een staaf met constante dwarsdoorsnede.
• Als de kegel niet afgeknot is geldt D1=0. De verlenging δ wordt dan oneindig groot. Deze waarde is slechts theoretisch omdat dat ook de doorsnede 0 wordt. Een dergelijke doorsnede kan geen belasting op opnemen. De spanning σ=N/A zou oneindig groot worden in deze sectie.

Om de verlenging van de staaf numeriek uit te rekenen kunnen we de gegevens in de gevonden formule invullen. Zeer belangrijk hierbij is dat alle gegevens dezelfde dimensies hebben. We herwerken de gegevens naar "N" en "mm":

De verlenging δ van deze staaf wordt dan:

${\displaystyle \delta ={\frac {4\times 100.000N\times 1000mm}{210.000{\frac {N}{mm^{2}}}\times \pi \times 20mm\times 30mm}}\approx 1,01mm}$

Toepassing: inrekening van het eigengewicht

Op de figuur hiernaast zien we een balk met constante doorsnede A en lengte L, die onderworpen is aan een axiale trekkracht P.

De soortelijke massa of dichtheid van het materiaal bedraagt ρ, uitgedrukt in dimensie [massa per volume] met grootheid [kg/m³].

De kracht uitgeoefend door het eigengewicht van de balk in een willekeurige snede x bedraagt:

${\displaystyle \rho gAx\!}$

In een willekeurige doorsnede x werkt de normaalkracht N:

${\displaystyle N(x)=P+\rho gAx\!}$

De verlenging δ kan dan berekend worden met:

${\displaystyle \delta =\int _{0}^{L}{\frac {\sigma _{x}}{E}}dx=\int _{0}^{L}{\frac {N(x)}{EA}}dx=\int _{0}^{L}\left({\frac {P}{EA}}+{\frac {\rho gAx}{EA}}\right)dx}$

Uitwerking geeft:

${\displaystyle \delta ={\frac {PL}{EA}}+{\frac {\rho gL^{2}}{2E}}}$

Deze formule kan herwerkt worden tot:

${\displaystyle \delta ={\frac {PL}{EA}}+{\frac {\rho gLA}{2}}.{\frac {L}{EA}}={\frac {PL}{EA}}+{\frac {GL}{2EA}}}$

De eerste term in deze laatste formule is de verlenging van de staaf onder invloed van de kracht P. De tweede term is de verlenging onder invloed van het eigengewicht G=ρgAL. Deze laatste term geeft dezelfde verlenging als zou men de ganse balk belasten met een kracht gelijk aan de helft van het eigengewicht G.

Als de lengte L toeneemt, neemt ook de normaalkracht toe in de ophanging bovenaan. Men kan hieruit de "maximale veilige lengte" van een kabel of staaf bepalen, door te eisen dat de spanning σ lager blijft dan de toelaatbare spanning σ:

${\displaystyle \sigma _{\text{max}}={\frac {N(L)}{A}}={\frac {P}{A}}+\rho gL\leqslant {\overline {\sigma }}\Rightarrow L_{\text{max}}\leqslant {\frac {A\cdot {\overline {\sigma }}-P}{\rho gA}}}$

Niet-homogene dwarsdoorsnede

In alle vorige paragrafen gingen we ervan uit dat een lichaam steeds opgebouwd was uit één enkel materiaal. In de realiteit is een lichaam dikwijls samengesteld uit meerdere materialen, zoals bijvoorbeeld beton en staal in gewapend beton of een houten balk met een metalen verstevigingsstrip.

Als voorbeeld berekenen we de krachtswerking in van de samengestelde balk op de figuur hieronder, die bestaat uit drie concentrische buizen van verschillend materiaal met lengte L. De doorsneden voor de drie materialen zijn respectievelijk A₁, A₂, A₃, en de elatasticiteitsmoduli E₁, E₂ en E₃. De balk wordt onderworpen aan een centrische last P.

We veronderstellen dat de constructie zodanig is dat alle onderdelen dezelfde lengteverandering ondergaan, en dat ze afzonderlijk blijven werken. Hiermee bedoelen we dat er geen onderlinge wrijvingskrachten optreden tussen de materialen, of insnoeringen of andere effecten waardoor de materialen elkaar zouden kunnen beïnvloeden.

Elk materiaal van een deel van de last P opnemen. De drie onderdelen zullen elk een druklast opnemen die we benoemen met X₁, X₂ en X₃.

Uit het langsevenwicht vinden we:

${\displaystyle P=X_{1}+X_{2}+X_{3}\!}$

Er zijn geen andere evenwichtsvergelijkingen. Om de snedekrachten in elk materiaal te berekenen, moeten we de vervormingen van het materiaal in rekening brengen. Deze voorwaarden noemt men "elasticiteitsvergelijkingen".

In bovenstaand geval veronderstellen we dat de lengteverandering δ van de drie stukken dezelfde zal zijn. Dit kunnen we uitschrijven als:

${\displaystyle \delta ={\frac {X_{1}\cdot L}{E_{1}\cdot A_{1}}}={\frac {X_{2}\cdot L}{E_{2}\cdot A_{2}}}={\frac {X_{3}\cdot L}{E_{3}\cdot A_{3}}}}$

We kunnen nu P in functie van δ schrijven door substitutie van de elasticiteitvergelijkingen in het langsevenwicht. Na enig rekenwerk levert dit:

${\displaystyle \delta ={\frac {P\cdot L}{E_{1}\cdot A_{1}+E_{2}\cdot A_{2}+E_{3}\cdot A_{3}}}}$

Hieruit kunnen we dan terug X₁, X₂ en X₃ bepalen. Voor X₁ geeft dit:

${\displaystyle X_{1}={\frac {E_{1}\cdot A_{1}}{E_{1}\cdot A_{1}+E_{2}\cdot A_{2}+E_{3}\cdot A_{3}}}\cdot P}$

Algemeen kunnen we stellen dat:

${\displaystyle X_{i}={\frac {E_{i}\cdot A_{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(E_{i}\cdot A_{i})}}\cdot P}$

Elk onderdeel neemt dus een gedeelte van de last P op in de verhouding van zijn relatieve stijfheidsmodulus EA op trek of druk. De evenredigheidsfactor is:

${\displaystyle {\frac {EA}{\sum (EA)}}}$

Deze verdeling van P over de samenstellende delen is onafhankelijk van het aantal samenstellende delen, op voorwaarde dat ze onafhankelijk van elkaar werken. Constructies zoals in dit voorbeeld, waarin de krachtswerking slechts kan bepaald worden door inrekening van de vervormingen, noemt men "hyperstatisch". In tegenstelling tot isostatische problemen, moeten bij hyperstatische problemen de afmetingen (A) en de materiaaleigenschappen (E) gekend zijn om de inwendige krachten te kunnen berekenen.

Voorbeeld: kolom in gewapend beton

Een gewapende betonkolom zoals op de figuur hiernaast, wordt belast met een axiale drukkracht N. Gevraagd wordt de spanningen in het het beton en het staal te berekenen.

Volgende gegevens zijn gekend:

Uit de figuur halen we staal- en betonoppervlakte:

${\displaystyle A_{a}=8\cdot {\frac {\varnothing ^{2}\pi }{4}}\approx 1.608{\text{ mm}}^{2}}$

${\displaystyle A_{b}=A-A_{a}=400^{2}-1608\approx 158.392{\text{ mm}}^{2}\,}$

De krachten in het staal en beton halen we uit de formules van de vorige paragraaf:

${\displaystyle X_{a}={\frac {E_{a}\cdot A_{a}}{E_{a}\cdot A_{a}+E_{b}\cdot A_{b}}}\cdot N}$

${\displaystyle X_{b}={\frac {E_{b}\cdot A_{b}}{E_{a}\cdot A_{a}+E_{b}\cdot A_{b}}}\cdot N}$

Om de schrijfwijze van deze formules te vereenvoudigen, voeren we een "gelijkswaardigheisfactor" m in:

${\displaystyle m={\frac {E_{a}}{E_{b}}}}$

Na deling van teller en noemer door E_b worden de krachten:

${\displaystyle X_{a}={\frac {m\cdot A_{a}}{m\cdot A_{a}+A_{b}}}\cdot N}$

${\displaystyle X_{b}={\frac {A_{b}}{m\cdot A_{a}+A_{b}}}\cdot N}$

Om de spanningen te bepalen delen we de krachten in staal en beton door hun respectieve oppervlakte:

${\displaystyle \sigma _{a}={\frac {X_{a}}{A_{a}}}={\frac {m\cdot N}{m\cdot A_{a}+A_{b}}}}$

${\displaystyle \sigma _{b}={\frac {X_{b}}{A_{b}}}={\frac {N}{m\cdot A_{a}+A_{b}}}}$

Numerieke uitwerking geeft:

${\displaystyle m={\frac {E_{a}}{E_{b}}}={\frac {210.000}{30.000}}=7}$

${\displaystyle \sigma _{a}={\frac {m\cdot N}{m\cdot A_{a}+A_{b}}}={\frac {7\times -500.000{\text{ N}}}{(7\times 1.608+158.392){\text{ mm}}^{2}}}\approx -20,63{\frac {\text{N}}{{\text{mm}}^{2}}}}$

${\displaystyle \sigma _{b}={\frac {N}{m\cdot A_{a}+A_{b}}}={\frac {-500.000{\text{ N}}}{(7\times 1.608+158.392){\text{ mm}}^{2}}}\approx -2,95{\frac {\text{N}}{{\text{mm}}^{2}}}}$

In de praktijk zal men bij de berekening gewapende betonconstructies voor de gelijkwaardigheidsfactor m niet de theoretische waarde m=E_a/E_b nemen, maar wel een overeengekomen waarde, meestal m=15. Door de overschatting van de rekstijfheid van het staal houdt men er rekening mee dat het beton krimpt in de tijd en kruipt onder spanning, waardoor het zich tracht te ontrekken aan de belasting. Hierdoor wordt het staal zwaarder belast, wat men inrekent door de een hogere gelijkwaardigheidsfactor.

Temperatuurspanningen

Temperatuurspanningen ontstaan in lichamen waar de vrije uitzetting of inkrimping bij een temperatuurswijziging belemmerd wordt. Deze spanningen kunnen zeer groot worden en zijn dikwijls de oorzaak van overbelasting en breuk.

We onderzoeken deze temperatuurspanningen aan de hand van een balk QR die vastzit tussen twee onbeweeglijke massieven, zodat er geen lengteverandering mogelijk is. Indien de staaf vrij zou kunnen uitzetten, zou de totale verlenging gelijk zijn aan:

${\displaystyle \delta =\alpha \cdot L\cdot \Delta T}$

De nieuwe lengte van de staaf zou dan zijn

${\displaystyle L+\delta =(1+\alpha \Delta T)\cdot L}$

De verlenging δ kan echter niet optreden, dus zal de belemmerde uitzetting of inkrimping tot gevolg hebben dat er inwendige spanningen ontstaan die verlenging δ tenietdoet. Deze spanningen zorgen er als het ware voor dat de staaf met lengte L+δ terug samengedrukt wordt tot de lengte L. De eenheidsvervorming of rek ε is dan gelijk aan:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {L-(L+\delta )}{L+\delta }}\approx {\frac {-\delta }{L}}=-\alpha \Delta T}$

Daarmme komt een spanning σ overeen, gelijk aan:

${\displaystyle \sigma =E\cdot \varepsilon =-E\cdot \alpha \cdot \Delta T}$

Het minteken duidt erop dat dat een temperatuursstijging een drukspanning tot gevolg heeft en een temperatuursdaling een trekpsanning.

Uit de formule blijkt dat de spanning onafhankelijk is van de lengte L. De waarde van de uitzettingscoëfficiënt α van enkele veel voorkomende constructiematerialen is opgenomen in de tabel in de paragraaf over de elasticiteitsmodulus. Zo vinden we voor staal bij een temperatuursstijging van 1K een spanning van:

${\displaystyle \sigma =-E\cdot \alpha \cdot \Delta T=-210.000{\frac {\text{N}}{{\text{mm}}^{2}}}\times 12\times 10^{-6}{\text{K}}^{-1}\times 1{\text{K}}=-2,52{\frac {\text{N}}{{\text{mm}}^{2}}}}$

Zelfs bij kleine temperatuurswijzingen kunnen deze spanningen, en de ook de reactiekrachten (=σ.A) zeer hoog oplopen. In constructies zal men deze hoge spanningen en reactiekrachten trachten te vermijden door bewegingsmogelijkheden te creëren door gebruik te maken van bijvoorbeeld rolopleggingen of uitzettingsvoegen.

Spoorspatting als gevolg van de hitte

Bij normale spoorrails wordt tussen de rails ruimte voorzien voor het uitzetten en inkrimpen van de staaf door temperatuursveranderingen. Bij continu gelaste spoorstaven, die honderden meters lang zijn, wordt deze lengteverandering verhinderd. Dit leidt tot grote krachten in de spoorstaaf die tot knik van de rail (spoorspatting) kunnen leiden. Daarom worden bij dit type rails extra aandacht besteed aan de opbouw van het grindbed naast het spoor.

Temperatuurspanningen bij niet-homogene dwarsdoorsnedes

Hyperstatische structuren zijn zeer gevoelig aan aan temperatuursvariaties. De verschillende verplaatsingen van de verschillende materialen kunnen niet vrij optreden en veroorzaken zeer grote inwendige krachten.

Als voorbeeld beschouwen we symmetrisch lichaam samengesteld uit drie staven met dezelfde lengte uit twee verschillende materialen. Aan beide uiteinden zijn de staven vast met elkaar verbonden.
Materiaal 1 heeft een dwarssectie A₁, een elasticiteitsmodulus E₁ en een uitzettingscoëfficiënt α₁.
Materiaal 2 heeft een dwarssectie A₂, een elasticiteitsmodulus E₂ en een uitzettingscoëfficiënt α₂.

De temperatuurswijziging ΔT = T - T₀ veroorzaakt spanningen in de staven omdat de uitzettingscoëfficiënten α₁ en α₂ verschillend zijn.

Indien α₂>α₁, dan wil de middelste verder uitzetten dan de twee buitenste. Vermits alle staven dezelfde verlenging moeten ondergaan, wordt de vrije uitzetting in staaf 2 tegengewerkt door staven 1. In 2 ontstaat dan een drukkracht -X, terwijl in de staven 1 globaal een trekkacht X ontstaat.

De vrije uitzetting α₂.L.(T - T₀) van staaf twee wordt door de drukkacht -X tegengewerkt, zodat de resulterende lengteverandering δ gelijk is aan:

${\displaystyle \delta =\alpha _{2}\cdot L\cdot \Delta T-{\frac {XL}{E_{2}A_{2}}}}$

De vrije uitzetting α₁.L.(T - T₀) in de staven 1 wordt nog versterkt door de trekkracht X, zodat de verlenging de volgende wordt:

${\displaystyle \delta =\alpha _{1}\cdot L\cdot \Delta T+{\frac {XL}{E_{1}A_{1}}}}$

De beide lengteveranderingen moeten uiteraard gelijk zijn:

${\displaystyle \alpha _{2}\cdot L\cdot \Delta T-{\frac {XL}{E_{2}A_{2}}}=\alpha _{1}\cdot L\cdot \Delta T+{\frac {XL}{E_{1}A_{1}}}}$

Hieruit kan men X berekenen en de spanningen in de staven:

${\displaystyle X={\frac {(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cdot \Delta T}{{\frac {1}{E_{1}A_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}A_{2}}}}}}$

${\displaystyle \sigma _{1}={\frac {X}{A_{1}}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}=-{\frac {X}{A_{2}}}}$

In vele gevallen zullen de optredende spanningen aanleiding geven tot ernstige beschadigingen of vernieling. Het natuurlijke verweringsproces bij natuursteen, het scheuren van beton, het barsten of loskomen van een glazuurlaag op kleitegels, het scheuren en afbrokkelen van pleisterlagen op muren of betonwanden, het loskomen van wegmarkeringen, enzovoorts, zijn grotendeels het gevolg van ongelijke thermische uitzetting of inkrimping van materialen in een hyperstatisch geheel.

Indien een stuk niet symmetrisch is samengesteld, werken de krachten niet meer axiaal. Zo zal een lichaam met twee staven van een verschillend materiaal bij opwarming opkrullen naar de kant van het materiaal met de kleinste uitzettingscoëfficiënt. Hierop zijn bimetaalthermometers en thermostaatregelaars gebaseerd.

Ring met inwendige druk

We beschouwen een dunne ring met straal "r" en relatief verwaarloosbare dikte "e", zoals op de figuur rechts. De breedte van deze ring is L=1. Op deze ring werkt een constante radiale binnendruk "q" per eenheid van oppervlakkte.

We nemen aan dat wegens de geringe dikte "e" de spanningen in de ring gelijk zijn over de ganse dikte. Hieruit volgt:

${\displaystyle N=\sigma \cdot A=\sigma \cdot e\cdot L=e\cdot \sigma }$

De halve ring op de middelste figuur is slechts in evenwicht als:

${\displaystyle 2N=q\cdot D=2\cdot q\cdot r}$

Uit de twee vorige vergelijkingen kunnen we σ bepalen in functie van de binnendruk, de dikte en de straal:

${\displaystyle \sigma ={\frac {N}{A}}={\frac {q\cdot r}{e}}}$

Deze laatste formule noemt men de ketelformule.

De totale verlenging δ_o van de omtrek ring kan men bepalen door de rek te ingreren over de ganse cirkelomtrek:

${\displaystyle \delta _{o}=\int _{0}^{2\pi r}\varepsilon dx={\frac {\sigma }{E}}\int _{0}^{2\pi r}dx={\frac {2\pi qr^{2}}{Ee}}}$

De verlening van de straal δ_r bekomen we door de omtrekverlenging te delen door door 2π :

${\displaystyle \delta _{r}={\frac {\delta _{o}}{2\pi }}={\frac {qr^{2}}{Ee}}}$

De trekspanningen in de ring worden niet alleen veroorzaakt door inwendige drukken. Ook traagheidsheidskrachten zoals middelpuntvliedende krachten veroorzaken omtrekspanningen. Voorbeelden zijn onder andere vliegwielen, wielbanden en riemschijven. De inwendige druk q wordt nu vervangen door een centrifugaalkracht per eenheid van oppervlakte q.

Laten we de ring uit het vorige voorbeeld rond zijn as ronddraaien met een hoeksnelheid ω, uitgedrukt in [radialen per seconde], dan ondergaat het elementaire deeltje dφ een centrifugaalkracht per eenheid van oppervlakte "q".

${\displaystyle q={\frac {1}{rd\varphi L}}\cdot {\frac {mv^{2}}{r}}}$

De massa m van dit deeltje is gelijk aan volgende uitdrukkking, met ρ de dichtheid uitgedrukt als [massa per volume]:

${\displaystyle m=\rho \cdot rd\varphi Le}$

Met de omtreksnelheid v=r.ω, kunnen we q schrijven als, :

${\displaystyle q={\frac {1}{rd\varphi L}}\cdot {\frac {\rho \cdot rd\varphi Lev^{2}}{r}}={\frac {\rho ev^{2}}{r}}=\rho e\omega ^{2}r}$

De spanning wordt dan:

${\displaystyle \sigma ={\frac {q\cdot r}{e}}=\rho e\omega ^{2}r\cdot {\frac {r}{e}}=\rho \omega ^{2}r^{2}}$

Ook hier geldt de bedenking dat het probleem van spanningen in draaiende schijven, in rotors van turbines, enz., meer ingewikkelde twee- of driedimensionale problemen zijn die thuishoren in de elasticiteitsleer.

Voorbeeld ketelformule

opgave

Een onbelaste dunwandige stalen cilinder met straal r = 60mm en wanddikte e = 4mm wordt versterkt door het opwinden van een staaldraad (diameter D = 1 mm) die met een beginspanning van 90N/mm² wordt aangebracht, vooraleer er enige inwendige druk in de cilinder is. Bereken de spanningen in de cilinder en de staaldraad nadat in de cilinder een inwendige druk q = 2 N/mm² is aangelegd.

oplossing

Een doorsnede van de beginsituatie en het gevraagde is hiernaast geschetst. We beschouwen een stuk van 1 mm lengte uit de cilinder. Hierop zit 1 winding staaldraad. De beginspanning van 90N/mm² in de staaldraad zal een vooralsnog onbekende alzijdige externe druk "-p" op de cilinder veroorzaken. Wegens de 3e wet van Newton, zal de cilinder dus een inwendige druk "p" op de staaldraad veroorzaken, die in evenwicht is met de beginspanning in de staaldraad. Deze druk "p" kan berekend worden uit het vertikale krachtenevenwicht op het beschouwde winding staaldraad:

${\displaystyle 2\cdot p\cdot r\cdot L=2\cdot \left(90{\frac {\text{N}}{{\text{mm}}^{2}}}\cdot {\frac {\pi \cdot D^{2}}{4}}\right)\Rightarrow p={\frac {45\times \pi \times 1^{2}}{2\times 60\times 1}}=0,375\pi {\frac {\text{N}}{{\text{mm}}^{2}}}}$

Deze druk p veroorzaakt in de cilinder een omtrekdrukspanning σ₁ gelijk aan:

${\displaystyle \sigma _{1}={\frac {-p.r}{e}}={\frac {-0,375\pi {\frac {\text{N}}{{\text{mm}}^{2}}}\times 60{\text{mm}}}{4{\text{mm}}}}\approx -17,67{\frac {\text{N}}{{\text{mm}}^{2}}}}$

De nadien aangelegde inwendige druk q geeft aanleiding tot een trekspanning σ₂ in staaldraad en cilinder. Uit het vertikaal evenwicht halen we:

${\displaystyle 2\cdot q\cdot r\cdot L=\sigma _{2}\cdot \left(2\cdot e\cdot L+2\cdot {\frac {\pi \cdot D^{2}}{4}}\right)\Rightarrow \sigma _{2}={\frac {2\times 2\times 60\times 1}{2\times 4\times 1+2\times {\frac {\pi \times 1^{2}}{4}}}}\approx 25,08{\frac {\text{N}}{{\text{mm}}^{2}}}}$

De resulterende spanningen zijn dan:

• In de staaldraad σ_D:

${\displaystyle \sigma _{D}=90{\frac {\text{N}}{{\text{mm}}^{2}}}+\sigma _{2}=90+25,08=115,08{\frac {\text{N}}{{\text{mm}}^{2}}}\!}$

• In de cilinder σ_C:

${\displaystyle \sigma _{C}=\sigma _{1}+\sigma _{2}=-17,67+25,08=7,41{\frac {\text{N}}{{\text{mm}}^{2}}}\!}$

Inwendige vervormingsenergie bij axiale trek of druk

De algemene formule voor de inwendige elastische vervormingsenergie U werd in een vorige module reeds opgesteld voor een driedimensionale spanningstoestand.

Bij een axiale belasting treden enkel normaalspanningen σ_x = σ op, zodat de energie per volumeëenheid in dit geval gelijk wordt aan:

${\displaystyle U={\frac {\sigma ^{2}}{2E}}={\frac {E\varepsilon ^{2}}{2}}}$

Indien we de totale vervormingsenergie A_v van de staaf willen bepalen in functie van de de normaalkracht N(x) die in de staaf werkt, dienen we U te integreren over het ganse volume van de balk:

${\displaystyle A_{v}=\int _{V}UdV=\int _{L}\left(\int _{A}UdA\right)dx}$

Door invullen van U met σ=N(x)/A krijgen we:

${\displaystyle A_{v}=\int _{L}\left[\int _{A}\left({\frac {N(x)}{A}}\right)^{2}{\frac {1}{2E}}dA\right]dx}$

Als de staafdoorsnede A en de normaalkracht N constant zijn dan wordt de uitdrukking voor A_v eenvoudig:

${\displaystyle A_{v}={\frac {N^{2}\cdot L}{2EA}}}$

De maximale hoeveelheid elastische energie die per volumeëenheid in een materiaal kan opgestapeld worden, wordt begrensd door de elasticiteitsgrens R_e:

${\displaystyle U_{\mbox{max}}={\frac {R_{e}^{2}}{2E}}}$

Deze grootheid wordt ook wel modus van resiliëntie genoemd. Deze resiliëntie-modulus (maximale elastische vervormingsenergie van een materiaal) is ook een maat voor de dempende eigenschappen van een materiaal. Voor enkele materialen is in onderstaande tabel de vervormingsenergie per volumeëenheid en per massaëenheid aangegeven.

Uit de laatste kolom blijkt dat rubber voor eenzelfde gewicht veruit de beste schokdempende eigenschappen van deze materialen bezit.

Voorbeeld: Berekening van verplaatsingen in isostatische structuren

Opgave

Een stalen stootbok, geschematiseerd in de figuur rechts, wordt belast door een horizontale last P.
Bereken de horizontale verplaatsing δ_A in punt A.
Volgende gegevens zijn gekend:

Oplossing

We zoeken eerst alle uitwendige krachten H_B, V_B, V_C, zoals aangeduid op de figuur:

• Horizontaal evenwicht: P = H_B
• Vertikaal evenwicht: V_B = V_C
• Momentenevenwicht rond punt A: 1,5P+2V_C=0

=> H_B=P ; V_C=-0,75P ; V_B=-0,75P

Hierna bepalen we de staafkrachten. De staafkrachten in staven 1, 2 en 3 duiden we respectievelijk als X₁, X₂ en X₃. De krachten door de staven geleverd op de knoopunten zijn de tegengestelden van de staafkrachten (3e wet van newton: actie = reactie). We kunnen de staafkrachten bepalen door in elk knooppunt het evenwicht uit te schrijven:

• Knoop A

• Hoek tussen de staven : de lengte van AC bedraagt (1,5²+2²)^1/2=2,5 m.
  Hieruit volgt sin α = 2/2,5 = 0,8 ; cos α = 1,5/2,5 = 0,6
• Horizontaal evenwicht: P = - sin α . X₃ => X₃ = -1,25 P (drukkracht)
• Vertikaal evenwicht: - X₁ = - cos α . X₃ => X₁ = -0,6 . -1,25 P => X₁ = 0,75 P (trekkracht)

• Knoop B

• Horizontaal evenwicht: H_B + (- X₂) = 0 => X₂ = P (trekkracht)

Het is eenvoudig na te gaan dat het vertikaal evenwicht in knoop B en de knoopevenwichten in C tot dezelfde resultaten leiden.

De staafkrachten X brengen de staven onder spanning, en stapelen inwendige vervormingsenergie op in de staven, bepaald door de formule in de vorige paragraaf. De totale inwendige vervormingsenergie A_v vindt men door een sommatie over alle staven. Hierbij vullen we de lengtes in in mm aangezien we de verplaatsing in mm willen kennen:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{v}&=A_{v1}+A_{v2}+A_{v3}={\frac {(X_{1})^{2}\cdot L_{1}}{2EA}}+{\frac {(X_{2})^{2}\cdot L_{2}}{2EA}}+{\frac {(X_{3})^{2}\cdot L_{3}}{2EA}}\\&={\frac {(0,75P)^{2}\cdot 1500}{2EA}}+{\frac {P^{2}\cdot 2000}{2EA}}+{\frac {(-1,25P)^{2}\cdot 2500}{2EA}}\\&={\frac {P^{2}}{2EA}}\cdot (0,75^{2}\times 1500+(1)^{2}\times 2000+(-1,25)^{2}\times 2500)=6750\,{\frac {P^{2}}{2EA}}\end{aligned}}}$

Deze opgestapelde inwendige energie is uitsluitend afkomstig van de arbeid geleverd door de externe kracht P. Voor deze arbeid geleverd door de uitwendige krachten A_u geldt:

${\displaystyle A_{u}={\frac {P\cdot \delta _{A}}{2}}}$

Gelijkstelling van A_u en A_v levert:

${\displaystyle \delta _{A}=6750\,{\frac {P^{2}}{2EA}}\cdot {\frac {2}{P}}=6750\,{\frac {P}{EA}}}$

Numerieke uitwerking met de gekende gegevens levert dan:

${\displaystyle \delta _{A}={\frac {6.750\times 300.000}{210.000\times 2.500}}\approx 3,86{\mbox{ mm}}}$

Voorbeeld: Staafkrachten en verplaatsing in een hyperstatische constructie

Opgave

Een hyperstatische stalen structuur (zie figuur rechts) wordt belast door een uitwendige kracht P.
Bereken de staafkrachten en de vertikale verplaatsing δ_A.
Volgende gegevens zijn gekend:

Oplossing

Uit de symmetrie van de opgave kunnen we opmaken dat de staafkracht in staven AB en AD dezelfde moet zijn. We noemen de staafkracht in staaf AC "X" en deze in AB en AD "Y". Uit het vertikaal evenwicht in knoop A volgt:

${\displaystyle P=X+2Y\cos \alpha \!}$

${\displaystyle \Rightarrow Y={\frac {P-X}{2\cos \alpha }}}$

Als in de staaf AC een kracht X werkt, dan is de verlenging van deze staaf gelijk aan XL/EA. Deze verlenging is ook de verplaatsing in punt A volgens de werklijn van P, zodat deze een arbeid levert:

${\displaystyle A_{u}={\frac {P\delta _{A}}{2}}={\frac {P}{2}}\cdot {\frac {XL}{EA}}}$

De opgestapelde inwendige energie bedraagt:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{v}&=A_{vAC}+A_{vAB}+A_{vAD}={\frac {X^{2}\cdot L_{AC}}{2EA}}+{\frac {Y^{2}\cdot L_{AB}}{2EA}}+{\frac {Y^{2}\cdot L_{AD}}{2EA}}\\&={\frac {X^{2}\cdot L}{2EA}}+{\frac {Y^{2}\cdot L}{EA\cos \alpha }}\end{aligned}}}$

Door substitutie van Y door de eerder gevonden uitdrukking voor Y wordt dit:

${\displaystyle A_{v}={\frac {X^{2}\cdot L}{2EA}}+{\frac {(P-X)^{2}\cdot L}{4EA\cos ^{3}\alpha }}}$

Gelijkstelling van uitwendige arbeid A_u en de inwendige vervormingsenergie A_v levert:

${\displaystyle {\frac {P}{2}}\cdot {\frac {XL}{EA}}={\frac {X^{2}\cdot L}{2EA}}+{\frac {(P-X)^{2}\cdot L}{4EA\cos ^{3}\alpha }}\Rightarrow PX=X^{2}+{\frac {(P-X)^{2}}{2\cos ^{3}\alpha }}\Rightarrow X(P-X)={\frac {(P-X)^{2}}{2\cos ^{3}\alpha }}\Rightarrow X={\frac {P-X}{2\cos ^{3}\alpha }}}$

${\displaystyle \Rightarrow X={\frac {P}{1+2\cos ^{3}\alpha }}}$

Numerieke uitwerking voor de staafkrachten en de verplaatsing in A geeft:

${\displaystyle X={\frac {P}{1+2\cos ^{3}\alpha }}={\frac {100}{1+2\times 0,866^{3}}}\approx 43,50{\mbox{ kN}}}$

${\displaystyle Y={\frac {P-X}{2\cos \alpha }}={\frac {100-43,50}{2\times 0,866}}\approx 28,25{\mbox{ kN}}}$

${\displaystyle \delta _{A}={\frac {XL}{EA}}={\frac {43.500\times 3.000}{210.000\times 400}}\approx 1,55{\mbox{ mm}}}$