Bewijs:

Zij ${\displaystyle w\in A(V)}$ een vector uit het beeld van V onder A. Er is dus een ${\displaystyle x\in V}$, die door A op w wordt afgebeeld: ${\displaystyle w=A(x)}$. Als ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{m},\ldots )}$ een basis is van V, is x een lineaire combinatie daarvan:

${\displaystyle x=\sum _{i}\xi _{i}b_{i}}$.

Voor w geldt dus:

${\displaystyle w=A(x)=A(\sum _{i}\xi _{i}b_{i})=\sum _{i}\xi _{i}A(b_{i})}$,

dus inderdaad een lineaire combinatie van de beeldvectoren ${\displaystyle (A(b_{1}),\ldots ,A(b_{m}),\ldots )}$.

Het is niet moeilijk in te zien dat de afbeelding die alle vectoren uit V op de 0 afbeeldt lineair is. De beelden van de basisvectoren in een basis zijn dus niet noodzakelijk lineair onafhankelijk. Ze hoeven niet een basis te vormen van het beeld A(V). De rang van de beelden van een basis, die we ook de rang van de afbeelding noemen, hoeft dus niet gelijk te zijn aan de dimensie van het origineel V. Er kunnen als het ware dimensies verloren gaan. Waar zijn die dimensies gebleven? Kennelijk zijn er dan behalve de 0 nog andere vectoren op de 0 afgebeeld. De verzameling van die vectoren noemen we de kern of nulruimte van de lineaire afbeelding.

Bewijs:

We geven het bewijs alleen voor eindig-dimensionale V.

Laat ${\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{k})}$ een basis van ker(A) zijn. Vul deze basis aan met ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{r})}$ tot een basis van V. Dan is ${\displaystyle {\rm {dim}}(V)=k+r}$. (NB. De gekozen bases kunnen evetueel leeg zijn.) De beelden van het stelsel ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{r},)}$ vormen nu een basis van het beeld A(V) van V. Zij zijn lineair onafhankelijk, want stel maar dat:

${\displaystyle 0=\alpha _{1}A(v_{1})+\ldots +\alpha _{r}A(v_{r})}$,

dan is:

${\displaystyle 0=A(\alpha _{1}v_{1}+\ldots +\alpha _{r}v_{r})}$.

Dit houdt in dat:

${\displaystyle \alpha _{1}v_{1}+\ldots +\alpha _{r}v_{r}\in \ker(A)}$

en dus moeten alle α's 0 zijn.

Het stelsel is ook volledig, want elke ${\displaystyle v\in V}$ is een lineaire combinatie van de basis ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{r},u_{1},\ldots ,u_{k})}$ en deze wordt afgebeeld op ${\displaystyle (0,\ldots ,0,A(v_{1}),\ldots ,A(v_{r}))}$.