Voorbeelden

Neem steeds ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$,

• Zij ${\displaystyle \ V=\mathbb {R} ^{n}}$, dan zijn de projecties ${\displaystyle p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{i}}$ element van de duale ruimte ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$.
• Zij ${\displaystyle \!\ V=C[-\pi ,\pi ]}$, d.w.z de ruimte van de continue functies op ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$, dan is ${\displaystyle a_{n}(f)=\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx}$ een element van de duale ruimte van ${\displaystyle C[-\pi ,\pi ]}$.
• Zij ${\displaystyle \ V=\mathbb {R} [x]}$, d.w.z. de lineaire ruimte van alle veeltermen, dan zijn ${\displaystyle ev:\mathbb {R} [x]\to \mathbb {R} :p(x)\mapsto p(5)}$ en ${\displaystyle D:\mathbb {R} [x]\to \mathbb {R} :p(x)\mapsto p'(\pi )\ }$ twee verschillende elementen van de duale ruimte van de veeltermen.

Bewijs

Kies een basis ${\displaystyle (v_{1},...,v_{n})\,}$ van V en definieer de eenvormen ${\displaystyle (v_{1}^{*},...,v_{n}^{*})\,}$ door:

${\displaystyle v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}}$ dus 1 als i=j en 0 als i en j verschillend zijn

Deze eenvormen vormen een basis van de duale ruimte, want ze zijn onafhankelijk en een willekeurige eenvorm u is een lineaire combinatie van deze eenvormen, immers voor iedere basisvector ${\displaystyle v_{i}}$ geldt:

${\displaystyle u(v_{i})=u(v_{1})v_{1}^{*}(v_{i})+\ldots +u(v_{n})v_{n}^{*}(v_{i})=\left(u(v_{1})v_{1}^{*}+\ldots +u(v_{n})v_{n}^{*}\right)(v_{i}).}$

Voor lineaire combinaties van de ${\displaystyle v_{i}}$ gelden vergelijkbare uitspraken omdat de onderliggende afbeeldingen lineair zijn.

Voor de eenvorm u geldt daarom dat

${\displaystyle u=u(v_{1})v_{1}^{*}+\ldots +u(v_{n})v_{n}^{*}}$

Iedere willekeurige eenvorm u is dus te schrijven als lineaire combinatie van de n eenvormen ${\displaystyle v_{i}^{*}}$.

De bovengenoemde basis van de duale ruimte die als het ware bij een basis van de oorspronkelijke ruimte hoort speelt een speciale rol en heeft daarom ook een speciale naam.