Is er een systematische manier om een periodieke functie f (voor het gemak kiezen we de periode 2π) te benaderen door een goniometrische reeks, dwz. een reeks van de vorm:

${\displaystyle \,{\tilde {f}}(x)=a_{0}+a_{1}\cos(x)+b_{1}\sin(x)+a_{2}\cos(2x)+b_{2}\sin(2x)+...=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))}$.

We zullen ervan uitgaan dat de functie f integreerbaar is.

De coëfficiënten zijn bepaald door de eis dat de afstand

${\displaystyle \,\|f-{\tilde {f}}\|={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(f(x)-{\tilde {f}}(x))^{2}dx}}}$

tussen f en de reeks zo klein mogelijk is.

Deze norm is geïnduceerd door het inproduct:

${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx\,}$.

Ten opzichte van dit inproduct vormen de sinussen en cosinussen (de constante wordt als cos(0x) opgevat) een orthogonaal stelsel, zodat de reeks gevonden wordt door orthogonale projectie van f op de afzonderlijke sinussen en cosinussen.

Orthogonaliteit

Voor m, n = 1, 2, ... geldt:

(de constante functie is orthogonaal met sinussen en cosinussen)

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)dx=0\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)dx=0\,}$

(verschillende sinussen zijn onderling orthogonaal)

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\sin(nx)dx={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\delta _{mn}\,}$

(verschillende cosinussen zijn onderling orthogonaal)

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\cos(nx)dx={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\delta _{mn}\,}$

(sinussen en cosinussen zijn onderling orthogonaal)

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\cos(nx)dx=0\,}$

Orthogonale projectie

Omdat de sinussen en cosinussen orthogonaal zijn, worden de coëfficiënten gegeven door:

${\displaystyle a_{0}=\langle f,1\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx\,}$

en voor n>0:

${\displaystyle a_{n}={\frac {\langle f,\cos(nx)\rangle }{\langle \cos(nx),\cos(nx)\rangle }}=2\langle f,\cos(nx)\rangle ={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx}$

en analoog:

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx\,}$

Fourierreeks

De reeks met boven gedefinieerde coëfficiënten heet de fourierreeks van de functie f.