Men kan de fourierreeks zoals gedefinieerd in het vorige hoofdstuk op elegante wijze weergeven mbv. complexe e-machten. Er geldt immers:

${\displaystyle \,{\tilde {f}}(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+ib_{n}\sin(nx))=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\alpha _{n}e^{-inx}}$,

waarin:

${\displaystyle \,\alpha _{0}=a_{0}}$,

${\displaystyle \,\alpha _{n}={\frac {1}{2}}(a_{n}+b_{n}i)}$

en

${\displaystyle \,\alpha _{-n}={\overline {\alpha _{n}}}}$

Orthonormale functies

In plaats van sinussen en cosinussen treden hier de complexe e-machten ${\displaystyle \,e^{inx}}$ op als orthogonaal stelsel. Er geldt:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{imx}e^{inx}dx=\delta _{mn}}$.

Het stelsel is dus zelfs orthonormaal m.b.t. het inproduct:

${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx}$.

Voor de coëfficiënten geldt dus:

${\displaystyle \,\alpha _{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{inx}dx}$