6.2 Verwachting van bekende discrete verdelingen

In deze paragraaf sommen we de verwachtingswaarde van enkele bekende discrete verdelingen op. Aangezien de verwachting van een s.v. X alleen afhankelijk is van de kansverdeling van X, spreken we ook wel van de verwachtingswaarde van de (bijbehorende) verdeling. We vermelden hieronder steeds de verdeling en denken ons daarbij een s.v. X met die verdeling.

Stelling 6.2.1
1.Ontaarde verdeling (in het punt a).

${\displaystyle EX=a\cdot 1=a}$.

2. Alternatieve verdeling (met parameter p = p_X(1)).

${\displaystyle EX=0\cdot (1-p)+1\cdot p=p}$.

3. Uniforme verdeling (op de getallen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}\,}$).

${\displaystyle EX=x_{1}{\tfrac {1}{N}}+x_{2}{\tfrac {1}{N}}+\ldots +x_{N}{\tfrac {1}{N}}={\tfrac {1}{N}}\sum x_{i}={\bar {x}}}$.

4. Binomiale verdeling (met parameters n en p).

${\displaystyle EX=\sum _{k=0}^{n}k{\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}=}$

${\displaystyle =np\sum _{m=0}^{n-1}{\tbinom {n-1}{m}}p^{m}(1-p)^{n-1-m}=np}$

5. Hypergeometrische verdeling (met parameters N, M en n). ${\displaystyle EX=\sum _{m=0}^{n}m{\frac {{M \choose m}{N-M \choose n-m}}{N \choose n}}=n{\frac {M}{N}}}$

6. Geometrische verdeling (met parameter p).

${\displaystyle EX=\sum _{n=1}^{\infty }n(1-p)^{n-1}p=p{\frac {d}{dz}}\left.\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\right|_{z=1-p}=p{\frac {d}{dz}}\left.\left({\frac {1}{1-z}}\right)\right|_{z=1-p}={\frac {1}{p}}}$

7. Poisson-verdeling (met parameter m).

${\displaystyle EX=\sum _{n=0}^{\infty }n{\frac {\mu ^{n}}{n!}}e^{-\mu }=\mu \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{n-1}}{(n-1)!}}e^{-\mu }=\mu }$

We passen de bovenstaande kennis toe in een tweetal gevallen.

Voorbeeld 1
Het verwachte aantal zessen bij 25 keer werpen met een zuivere dobbelsteen is dus 25 × 1/6, want het aantal zessen X is B(25,1/6)-verdeeld.

Voorbeeld 2
Het verwachte benodigde aantal worpen om met een zuivere dobbelsteen zes te gooien is dus 6, want het benodigde aantal worpen X is geometrisch verdeeld met parameter 1/6.