Nota bene: aan dit artikel wordt nog hard gewerkt.

Riemann-sommen

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ op het interval ${\displaystyle [0,3]}$ onderverdeeld in 5 rechthoeken.

Om de oppervlakte onder de grafiek van een continue functie f(x) op het interval [a,b] te benaderen, verdelen we het interval in n stukjes met breedte ${\displaystyle \Delta x}$ en bepalen de oppervlakte van de rechthoeken boven deze stukjes, waarvan de "middens juist op de grafiek vallen". De hoogte van de k-de rechthoek wordt dan gegeven door ${\displaystyle f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)}$, zodat de oppervlakte van deze rechthoek gelijk is aan:

${\displaystyle O_{k}=f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)\cdot \Delta x.}$

De oppervlakte O onder de grafiek wordt dan benaderd door:

${\displaystyle O\approx \sum _{k=1}^{n}O_{k}=\sum _{k=1}^{n}f({\tfrac {1}{2}}\Delta x+(k-1)\Delta x)\cdot \Delta x}$

Het spreekt voor zich dat een grotere n, en dus een kleinere ${\displaystyle \Delta x}$ een nauwkeurigere benadering oplevert.

Integralen

In het voorbeeld hebben we gezien dat we een betere benadering verkrijgen naarmate we ${\displaystyle \Delta x}$ dichter bij 0 kiezen. Nemen we de limiet voor ${\displaystyle \Delta x}$ naar 0, dan spreken we over een integraal:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\textrm {d}}x=\lim _{\Delta x\to 0}\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k})\cdot \Delta x}$

Deze integraal spreken we uit als: 'De integraal van a naar b over f(x) dx'.

Hoofdstelling van de Integraalrekening

De hoofdstelling van de integraalrekening geeft een verband tussen de primitieven van een functie en de integraal:

Zij ${\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }$ continu en ${\displaystyle F'=f\,\!}$, dan geldt:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\textrm {d}}x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)}$

Dit verband wordt ook wel geschreven als:

${\displaystyle f(b)=f(a)+\int _{a}^{b}f'(x)\,{\textrm {d}}x}$

Historie